球面

球面是一类基本的形状. 例如, $1$ 维球面是圆周, $2$ 维球面是球体的表面. 一般地, 也有 $n$ 维球面, 通常记为 $S^n$, 它是拓扑空间和 $n$ 维流形的基本例子.

1定义

定义 1.1 (球面). 设 $n\ge -1$ 是整数. $n$ 维球面定义为 Euclid 空间 ${\mathbb{R}}^{n+1}$ 的子集$$S^n=\{(x_1,\dots ,x_{n+1})\in {\mathbb{R}}^{n+1}\mid x_1^2+\cdots +x_{n+1}^2=1\}.$$它带有 ${\mathbb{R}}^{n+1}$ 的子空间拓扑, 成为拓扑空间. 当 $n>-1$ 时, 它也是 ${\mathbb{R}}^{n+1}$ 的闭子流形, 这定义了它的流形结构.

例如, $S^{-1}=\varnothing$ 是空空间, $S^0=\ast \bigsqcup \ast$ 是两个点构成的离散空间, $S^1$ 是平面上的单位圆周, $S^2$ 是空间中的单位球面.

2性质

球极投影

对自然数 $n$, 去掉一个点的球面 $S^n\setminus \{(0,\dots ,0,1)\}$ 和 ${\mathbb{R}}^n$ 通过球极射影映射而同胚, 该映射定义为$$\begin{array}{rl}p:S^n\setminus \{(0,\dots ,0,1)\}& ⟶{\mathbb{R}}^n,\\ (x_1,\dots ,x_{n+1})& ⟼\frac{(x_1,\dots ,x_n)}{1-x_{n+1}},\end{array}$$它将每个点映到它与北极 $(0,\dots ,0,1)$ 的连线与超平面 $\{x_{n+1}=0\}\subset {\mathbb{R}}^{n+1}$ 的交点.

一般拓扑性质

定理 2.1. 当 $n>0$ 时, $S^n$ 是道路连通空间, 从而是连通空间.

证明. 在球面上任取两点 $x,y$, 取这两点之外的第三点 $z$, 通过球极投影同胚剩下的部分到平面 ${\mathbb{R}}^n$ 上, $p(x)$ 和 $p(y)$ 由线段连接. 所以 $S^n$ 道路连通, 从而连通.

$\square$

定理 2.2. $S^n$ 是紧空间.

证明. $S^n$ 是 ${\mathbb{R}}^{n+1}$ 的有界闭子空间, 因此由 Heine–Borel 定理, 它是紧空间.

$\square$

事实上, 当 $n>0$ 时, 球面 $S^n$ 同胚于 ${\mathbb{R}}^n$ 的一点紧化.

基本群

定理 2.3. $S^1$ 的基本群是 $\mathbb{Z}$.

证明. 容易发现映射$$\mathbb{R}\to S^1,x\mapsto (\cos 2\pi x,\sin 2\pi x)$$是万有覆叠, 且覆叠变换群是 $\mathbb{Z}$, 因此命题由覆叠空间的一般理论得证.

$\square$

定理 2.4. $S^n$ ($n>1$) 是单连通的.

证明. 注意到去除南极点的球面 $S^n\backslash \{(0,0,\dots ,1)\}$ 和去除北极点的球面均可缩, 且二者之交连通, 命题由 Van Kampen 定理得证.

通过 Whitney 逼近定理可以给出另一个证明, 参见下面关于同伦群的论述.

$\square$

同伦群

计算球面同伦群是十分不平凡的问题, 对其的讨论参见该条目.

3例子

•	$0$ 维球面
•	$1$ 维球面
•	$2$ 维球面
•	$3$ 维球面

4相关概念

•	无穷维球面
•	圆球面

术语翻译

球面 • 英文 sphere • 德文 Kugel (f) • 法文 sphère (f) • 拉丁文 sphaera (f) • 古希腊文 σφαῖρα (f)