球面
球面是一类基本的形状. 例如, 维球面是圆圈, 维球面是球体的表面. 一般地, 也有 维球面, 通常记为 , 它是拓扑空间和 维流形的基本例子.
1定义
例如, 是空空间, 是两个点构成的离散空间, 是平面上的单位圆周, 是空间中的单位球面.
在 时, 从球面上挖去一个点后 () 和 通过球极射影同胚. 将 嵌入到 后并取坐标 , 球极射影可定义为它的意思是, 将 映射到北极 和 连线与平面 上. 分别取北极和南极作球极投影画出的两张, 就足以描述整个 .
2性质
连通性和道路连通性
在 时, 不连通, 连通分支是两点 .
证明. 时, 在球面上任取两点 , 挖取这两点之外的第三点 , 通过球极投影同胚剩下的部分到平面 上, 和 显然有直线道路连通 (), 而 就是 上 到 的道路.
紧性
定理 2.2. 是紧空间.
证明. 考虑到 是 的子拓扑空间, 有界性是显然的, 只需要证明它在 中是闭集就行了.
任取 , 只需要取 , 开球 , 所以 的补在 中是开的, 即 在 中是闭集.
由于球面的紧性, 我们可以认为球面是平面 的一种紧化, 即 , 其中 可以认为是无穷远点, 是球极投影中极点的像, 它的邻域基是 .
基本群
定理 2.3. 的基本群是 .
定理 2.4. () 是单连通的.
证明. 注意到去除南极点的球面 和去除北极点的球面均可缩, 且二者之交连通, 命题由 Van Kampen 定理得证.
同伦群
主条目: 球面同伦群

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命题 2.5. 对自然数 , 同伦群 .
命题 2.6. 对正整数 , .
此外, 利用同伦切除定理 (Van Kampen 定理的高维推广) 可以给出以上命题另一个证明 (...)
命题 2.7. 对正整数 , .
然而在一般情况下, 球面的同伦群计算是十分困难而至今悬而未决的问题.
3例子
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4相关概念
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术语翻译
球面 • 英文 sphere • 德文 Kugel (f) • 法文 sphère (f) • 拉丁文 sphaera (f) • 古希腊文 σφαῖρα (f)