球面

球面是一类基本的形状. 例如, $1$ 维球面是圆圈, $2$ 维球面是球体的表面. 一般地, 也有 $n$ 维球面, 通常记为 $S^n$, 它是拓扑空间和 $n$ 维流形的基本例子.

1定义

定义 1.1 (球面). 设 $n\ge -1$ 是整数. $n$ 维球面定义为 Euclid 空间 ${\mathbb{R}}^{n+1}$ 的子集$$S^n=\{(x_1,\dots ,x_{n+1})\in {\mathbb{R}}^{n+1}\mid x_1^2+\cdots +x_{n+1}^2=1\}.$$它带有 ${\mathbb{R}}^{n+1}$ 的子空间拓扑, 成为拓扑空间. 当 $n>-1$ 时, 它也是 ${\mathbb{R}}^{n+1}$ 的子流形, 这定义了它的流形结构.

例如, $S^{-1}=\varnothing$ 是空空间, $S^0=\ast \bigsqcup \ast$ 是两个点构成的离散空间, $S^1$ 是平面上的单位圆周, $S^2$ 是空间中的单位球面.

在 $n\in {\mathbb{N}}_{+}$ 时, 从球面上挖去一个点后 ($S^n\backslash \{x_0\}$) 和 ${\mathbb{R}}^n$ 通过球极射影同胚. 将 $S^n$ 嵌入到 ${\mathbb{R}}^{n+1}$ 后并取坐标 $x_0=(0,\dots ,0,1)$, 球极射影可定义为$$\begin{array}{rlrlrlr}p:& & S^n& & \to & & {\mathbb{R}}^n;\\ & & x& & \mapsto & & \frac{(x^1,\dots ,x^n)}{1-x^{n+1}},\end{array}$$它的意思是, 将 $x$ 映射到北极 $x_0$ 和 $x$ 连线与平面 ${\mathbb{R}}^n\times \{0\}\cong {\mathbb{R}}^n$ 上. 分别取北极和南极作球极投影画出的两张, 就足以描述整个 $S^n$.

2性质

连通性和道路连通性

在 $n=0$ 时, $S^0$ 不连通, 连通分支是两点 $\pm 1$.

定理 2.1. $n\in {\mathbb{N}}_{+}$ 时, $S^n$ 连通, 而且是道路连通.

证明. $n\in {\mathbb{N}}_{+}$ 时, 在球面上任取两点 $x,y$, 挖取这两点之外的第三点 $z$, 通过球极投影同胚剩下的部分到平面 ${\mathbb{R}}^n$ 上, $p(x)$ 和 $p(y)$ 显然有直线道路连通 ($a:[0,1]\to {\mathbb{R}}^n;t\mapsto (1-t)p(x)+tp(y)$), 而 $p^{-1}\circ a$ 就是 $S^n$ 上 $x$ 到 $y$ 的道路.

所以 $S^n$ 道路连通, 从而连通.

$\square$

紧性

定理 2.2. $S^n$ 是紧空间.

证明. 考虑到 $S^n$ 是 ${\mathbb{R}}^{n+1}$ 的子拓扑空间, 有界性是显然的, 只需要证明它在 ${\mathbb{R}}^{n+1}$ 中是闭集就行了.

任取 $x\notin S^n$, 只需要取 $\delta <|\Vert x\Vert -1|$, 开球 $B(x;\delta )\cap S^n=\varnothing$, 所以 $S^n$ 的补在 ${\mathbb{R}}^{n+1}$ 中是开的, 即 $S^n$ 在 ${\mathbb{R}}^{n+1}$ 中是闭集.

在 ${\mathbb{R}}^{n+1}$ 中, 有界闭集是紧的.

$\square$

由于球面的紧性, 我们可以认为球面是平面 ${\mathbb{R}}^n$ 的一种紧化, 即 $\overline{{\mathbb{R}}^n}:={\mathbb{R}}^n\cup \{\infty \}\cong S^n$, 其中 $\{\infty \}$ 可以认为是无穷远点, 是球极投影中极点的像, 它的邻域基是 $\{{\mathbb{R}}^n\backslash B(0,\delta )\mid \delta \in \mathbb{R}\}$.

基本群

定理 2.3. $S^1$ 的基本群是 $\mathbb{Z}$.

证明. 容易发现映射$$\mathbb{R}\to S^1,x\mapsto (\cos 2\pi x,\sin 2\pi x)$$是万有覆叠, 且覆叠变换群是 $\mathbb{Z}$, 因此命题由覆叠空间的一般理论得证.

$\square$

定理 2.4. $S^n$ ($n>1$) 是单连通的.

证明. 注意到去除南极点的球面 $S^n\backslash \{(0,0,\dots ,1)\}$ 和去除北极点的球面均可缩, 且二者之交连通, 命题由 Van Kampen 定理得证.

通过 Whitney 逼近定理可以给出另一个证明, 参见下面关于同伦群的论述.

$\square$

同伦群

主条目: 球面同伦群

下面的大部分论断到时候移到主条目

命题 2.5. 对自然数 $m<n$, 同伦群 ${\pi }_m(S^n)=0$.

证明. 由 Whitney 逼近定理, 任意映射 $S^m\to S^n$ 均同伦于光滑映射. 注意到低维数流形到高维数流形的光滑映射必然不满 (事实上它在任意 Riemann 度量下诱导的测度下零测, 这是 Sard 定理的特殊情形), 任意光滑映射 $S^m\to S^n$ 均穿过 ${\mathbb{R}}^n$, 因此零伦. 由此任意映射 $S^m\to S^n$ 零伦, 定理得证.

$\square$

命题 2.6. 对正整数 $n$, ${\pi }_n(S^n)=\mathbb{Z}$.

证明. 由 Hurewicz 定理, ${\pi }_n(S^n)=H_n(S^n)=\mathbb{Z}$.

$\square$

此外, 利用同伦切除定理 (Van Kampen 定理的高维推广) 可以给出以上命题另一个证明 (...)

命题 2.7. 对正整数 $n\ge 2$, ${\pi }_n(S^1)=0$.

证明. 注意到 $\mathbb{R}\to S^1$ 是万有覆叠, $\mathbb{R}\to S^1$ 诱导了高于一阶的同伦群同构. 而 $\mathbb{R}$ 可缩, 因此结论成立.

$\square$

然而在一般情况下, 球面的同伦群计算是十分困难而至今悬而未决的问题.

3例子

•	$0$ 维球面
•	$1$ 维球面
•	$2$ 维球面
•	$3$ 维球面

4相关概念

•	无穷维球面
•	圆球面

术语翻译

球面 • 英文 sphere • 德文 Kugel (f) • 法文 sphère (f) • 拉丁文 sphaera (f) • 古希腊文 σφαῖρα (f)