球面

球面是一类基本的形状. 例如, 维球面是圆圈, 维球面是球体的表面. 一般地, 也有 维球面, 通常记为 , 它是拓扑空间流形的基本例子.

1定义

定义 1.1 (球面). 是整数. 球面定义为 Euclid 空间 的子集它带有 子空间拓扑, 成为拓扑空间. 当 时, 它也是 子流形, 这定义了它的流形结构.

例如, 空空间, 是两个点构成的离散空间, 是平面上的单位圆周, 是空间中的单位球面.

时, 从球面上挖去一个点后 () 和 通过球极射影同胚. 将 嵌入到 后并取坐标 , 球极射影可定义为它的意思是, 将 映射到北极 连线与平面 上. 分别取北极和南极作球极投影画出的两张, 就足以描述整个 .

2性质

连通性和道路连通性

时, 不连通, 连通分支是两点 .

定理 2.1. 时, 连通, 而且是道路连通.

证明. 时, 在球面上任取两点 , 挖取这两点之外的第三点 , 通过球极投影同胚剩下的部分到平面 上, 显然有直线道路连通 (), 而 就是 的道路.

所以 道路连通, 从而连通.

紧性

定理 2.2. 是紧空间.

证明. 考虑到 的子拓扑空间, 有界性是显然的, 只需要证明它在 中是闭集就行了.

任取 , 只需要取 , 开球 , 所以 的补在 中是开的, 即 中是闭集.

中, 有界闭集是紧的.

由于球面的紧性, 我们可以认为球面是平面 的一种紧化, 即 , 其中 可以认为是无穷远点, 是球极投影中极点的像, 它的邻域基.

基本群

定理 2.3. 基本群.

证明. 容易发现映射万有覆叠, 且覆叠变换群是 , 因此命题由覆叠空间的一般理论得证.

定理 2.4. () 是单连通的.

证明. 注意到去除南极点的球面 和去除北极点的球面均可缩, 且二者之交连通, 命题由 Van Kampen 定理得证.

通过 Whitney 逼近定理可以给出另一个证明, 参见下面关于同伦群的论述.

同伦群

主条目: 球面同伦群

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下面的大部分论断到时候移到主条目

命题 2.5. 对自然数 , 同伦群 .

证明.Whitney 逼近定理, 任意映射 均同伦于光滑映射. 注意到低维数流形到高维数流形的光滑映射必然不满 (事实上它在任意 Riemann 度量下诱导的测度下零测, 这是 Sard 定理的特殊情形), 任意光滑映射 均穿过 , 因此零伦. 由此任意映射 零伦, 定理得证.

命题 2.6. 对正整数 , .

证明.Hurewicz 定理, .

此外, 利用同伦切除定理 (Van Kampen 定理的高维推广) 可以给出以上命题另一个证明 (...)

命题 2.7. 对正整数 , .

证明. 注意到 是万有覆叠, 诱导了高于一阶的同伦群同构. 而 可缩, 因此结论成立.

然而在一般情况下, 球面的同伦群计算是十分困难而至今悬而未决的问题.

3例子

维球面

维球面

维球面

维球面

4相关概念

无穷维球面

圆球面

术语翻译

球面英文 sphere德文 Kugel (f)法文 sphère (f)拉丁文 sphaera (f)古希腊文 σφαῖρα (f)