纤维丛

纤维丛是一种几何结构. 粗略地说, 拓扑空间 $B$ 上的纤维丛是指一个映射$$p:E\to B,$$其中, $B$ (当连通时) 的每一点 $b\in B$ 的原像 $p^{-1}(b)$ 都同胚, 记作 $F$, 称为这个纤维丛的纤维. 直观上看, 我们给 $B$ 的每一点粘上同一个形状 $F$, 而得到空间 $E$.

例如, 乘积空间 $B\times F$ 总是 $B$ 上的纤维丛, 这样的纤维丛称为平凡的. 再例如, Möbius 带是圆周 $S^1$ 上的纤维丛, 其纤维是线段.

1定义

定义 1.1 (纤维丛). 设 $B$ 是拓扑空间. 则 $B$ 上的纤维丛是一个连续映射$$p:E\to B,$$它满足以下条件:

•	(局部平凡性) 对每个 $b\in B$, 存在 $b$ 的邻域 $U$, 使得有交换图其中 $F=p^{-1}(b)$ 是映射 $p$ 的纤维, $\phi$ 是同胚.

特别地, $B$ 的同一连通分支上的所有纤维都同胚. 当纤维为 $F$ 时, 我们也将这个纤维丛记作或者记作$$F\hookrightarrow E\to B.$$

2例子

•	$E=B\times F$ 是 $B$ 上的纤维丛, 称为纤维为 $F$ 的平凡丛.
•	Möbius 带是圆周 $S^1$ 上的纤维丛, 其纤维是线段.
•	覆叠映射是纤维为离散空间的纤维丛.
•	Hopf 纤维化是一个映射 $p:S^3\to S^2$, 它是以 $S^1$ 为纤维的纤维丛.
•	向量丛是纤维为向量空间的纤维丛 (并满足一些额外条件). 这包括光滑流形的切丛、余切丛等.

3性质

与主丛的关系

(...)

与纤维化的关系

(...)

4相关概念

•	向量丛
•	主丛
•	微丛

术语翻译

纤维丛 • 英式英文 fibre bundle • 美式英文 fiber bundle • 德文 Faserbündel (n) • 法文 fibré (m) • 拉丁文 fibratum (n)