主丛

对于拓扑群 $G$ , $G$ -主丛是一种特殊的纤维丛, 其纤维同胚于 $G$ , 并带有 $G$ 的作用.

当 $G$ 带有额外的几何结构时, 也可以定义带有这些结构的主丛. 例如, 当 $G$ 为 Lie 群时, 可以定义光滑流形上的光滑主丛. 当 $G$ 为代数群时, 可以定义代数簇上的代数主丛.

1定义
拓扑主丛
光滑主丛
代数主丛
2例子
3性质
函子性
作为群作用的商
分类
与向量丛的关系
4相关概念

1定义

拓扑主丛

定义 1.1 (主丛). 设 $G$ 为拓扑群, $X$ 为拓扑空间. 则 $X$ 上的 $G$ -主丛由以下信息构成:

•	连续映射 $p : P \to X$ .

•	连续 $G$ -右作用 $a : P \times G \to P$ .

并满足局部平凡条件:

•	存在 $X$ 的开覆盖 $U$ , 对每个 $U \in U$ , 都有 $P ∣_{U}$ 同构于平凡主丛 $U \times G$ . 换言之, 有交换图 $P ∣_{U} U \times G U, ≃ p ∣_{U} pr_{1}$ 这里横向箭头是同胚, 且与 $G$ -作用相容, $G$ 以右乘作用于 $U \times G$ 的第二分量上.

若无歧义, 此主丛可记作 $P$ .

$X$ 上两个主丛间的态射是与 $G$ -作用相容的纤维丛态射.

定义 1.2 (态射). 设 $p_{1} : P_{1} \to X$ , $p_{2} : P_{2} \to X$ 是 $X$ 上两个 $G$ -主丛, 它们的 $G$ -作用分别记为 $a_{1}$ , $a_{2}$ . 则它们之间的态射 $f : P_{1} \to P_{2}$ 是满足以下条件的连续映射:

•	$f$ 与纤维丛结构相容, 即有交换图 $P_{1} P_{2} X . f p_{1} p_{2}$

•	$f$ 与 $G$ -作用相容, 即有交换图 $P_{1} \times G P_{2} \times G P_{1} P_{2} . f \times 1_{G} a_{1} a_{2} f$

所有 $X$ 上 $G$ -主丛和它们之间的态射构成一范畴, 它是群胚, 称为 $X$ 上 $G$ -主丛群胚, 记作 $Bun_{G} (X)$ .

光滑主丛

定义 1.3 (光滑主丛). 设 $G$ 为 Lie 群, $X$ 为光滑流形. 则 $X$ 上的光滑 $G$ -主丛由以下信息构成:

•	光滑映射 $p : P \to X$ .

•	光滑 $G$ -右作用 $a : P \times G \to P$ .

并满足局部平凡条件:

•	存在 $X$ 的开覆盖 $U$ , 对每个 $U \in U$ , 都有 $P ∣_{U}$ 同构于平凡主丛 $U \times G$ : $P ∣_{U} U \times G U, ≃ p pr_{1}$ 这里横向箭头是微分同胚, 且与 $G$ -作用相容.

代数主丛

定义 1.4 (代数主丛). 设 $S$ 为概形, $G$ 为 $S$ 上群概形, $X$ 为 $S$ -概形. 则 $X$ 上的代数 $G$ -主丛由以下信息构成:

•	概形态射 $p : P \to X$ .

•	$G$ -右作用 $a : P \times G \to P$ .

并满足局部平凡条件. (在 $X$ 上可选取不同的拓扑.)

2例子

•	乘积丛 $X \times G \to X$ 称为平凡的 $G$ -主丛. $G$ -主丛同构于平凡丛当且仅当它有全局截面.

•	Hopf 纤维化 $S^{3} \to S^{2}$ 是 $S^{1}$ -主丛.

•	一个流形的定向覆叠是 $Z /2 Z$ -主丛.

•	$n$ 维 Riemann 流形上的标准正交标架丛是 $O (n)$ -主丛; 当且仅当底空间流形可定向时, 该丛约化为 $SO (n)$ -主丛.

3性质

函子性

作为群作用的商

命题 3.1. 设 $P$ 是光滑流形, $G$ 是紧 Lie 群, $μ : P \times G \to P$ 是光滑, 自由的右作用, 则商映射 $P \to X = P / G$ 是 $G$ -主丛.

(此命题应推广).

推论 3.2. 设 $H \subset G$ 是紧子群, 那么商映射 $G \to G / H$ 是 $H$ -主丛.

推论 3.3. 设 $K \subset H \subset G$ 是紧子群, 那么商映射 $G / K \to G / H$ 是 $(H / K)$ -主丛.

分类

命题 3.4. 存在主丛 $EG \to BG$ , 满足对任意仿紧拓扑空间 $X$ 上主丛 $P$ , 均存在同伦意义下唯一的映射 $X \to BG$ , 使得 $P$ 同构于拉回丛 $X \times_{BG} EG$ .

与向量丛的关系

给定 $G$ 的群表示后, 可以由主丛得到向量丛.

定义 3.5 (配丛). 设有拓扑群表示 $ρ : G \to GL (V)$ 其中 $V$ 是某个拓扑域 $K$ (如 $R$ , $C$ ) 上有限维向量空间. 则对主丛 $P \to X$ , 纤维积 $P \times_{G} V$ 有自然的 $X$ 上 $K$ -向量丛结构, 且其转移映射落在 $ρ (G)$ 中.

也可以从向量丛得到主丛.

命题 3.6. 设 $V$ 是某个拓扑域 $K$ (如 $R$ , $C$ ) 上有限维向量空间, $G$ 是 $GL (V)$ 的子拓扑群, 则拓扑空间 $X$ 上转移映射在 $G$ 中的向量丛构成的范畴的对象群胚与 $X$ 上 $G$ -主丛范畴等价.

4相关概念

•	向量丛
•	分类空间
•	联络
•	扭子
•	$2$ -主丛、 $\infty$ -主丛

术语翻译

主丛 • 英文 principal bundle • 德文 Hauptfaserbündel (n) • 法文 fibré principal (m)

名字空间

视图

主丛

1定义