代数簇

代数簇 (简称) 是代数几何的主要研究对象之一. 正如流形Euclid 空间沿光滑映射粘合而成, 代数簇由仿射代数簇沿多项式映射粘合而成.

最简单的仿射代数簇是仿射空间, 这包括我们熟悉的直线、平面、三维空间等. 在仿射空间中, 由多项式所刻画出的集合也是仿射代数簇. 例如, 在平面上由方程 定义的圆周就是一例.

一般而言, 代数簇就是由若干个这样的多项式的零点集粘起来得到的形状. 这里, 我们也要求沿着多项式映射来粘合. 例如, 射影空间就是一个非仿射的代数簇, 它可以由若干个仿射空间粘出来.

1定义

我们给出两种定义代数簇的方式. 前一种是现代的代数几何中通常使用的定义 (除去一些细节差别). 后一种定义更加直接, 但由于损失了概形带有的丰富信息, 实际操作起来有诸多不便.

现代定义

定义 1.1 (代数簇)., -概形. 称 上的代数簇, 如果满足以下条件:

分离.

有限型.

代数簇间的态射就是相应概形间的态射.

注 1.2. 一些文献中会在上述代数簇的定义中加入额外条件, 例如要求代数簇不可约既约. 这里采取最一般的定义.

定义 1.3. 上所有代数簇以及它们之间的态射构成一范畴, 称为代数簇范畴, 记为 .

定义 1.4. 是域 上的代数簇.

仿射代数簇, 如果 同时是仿射概形.

射影代数簇, 如果 同时是 上的射影概形, 即 射影空间闭子概形.

拟射影代数簇, 如果 上射影空间的子概形.

古典定义

下面给出古典意义下的代数簇概念.

定义 1.5.代数闭域. 上的仿射代数簇是形如下式的仿射空间子集: 其中 元多项式.

定义 1.6. 是代数闭域, 上的射影代数簇是形如下式的射影空间子集: 其中 元齐次多项式.

定义 1.7 (Zariski 拓扑).代数闭域 上, 仿射空间、射影空间的 Zariski 拓扑定义为由以下性质确定的拓扑:

仿射空间中, 所有闭集恰为所有仿射代数簇.

射影空间中, 所有闭集恰为所有射影代数簇.

由此, 仿射代数簇、射影代数簇可以视为仿射空间、射影空间的子空间, 故而带有子空间拓扑, 称为这些代数簇上的 Zariski 拓扑.

定义 1.8. 射影代数簇的非空开集被称为拟射影代数簇, 简称代数簇. 仿射代数簇的非空开集被称为拟仿射代数簇.

注 1.9. 由于射影空间 仿射空间 粘成 (分别由 定义). 仿射代数簇可以视为射影代数簇的开集, 射影代数簇可以视为仿射代数簇的粘合.

定义 1.10. 中拟仿射代数簇到 中代数簇的正则映射为相应集合间的映射 , 使其形如 中代数簇到 中代数簇的正则映射为相应集合间的映射, 使其在每个形如 的开集上的限制均为上述定义的拟仿射代数簇到代数簇的正则映射.

定义 1.11. 代数闭域 上所有代数簇以及它们之间的正则映射射构成一范畴, 称为 (古典意义下) 代数簇范畴.

2性质

命题 2.1. 对代数闭域 , 存在全忠实函子, 从古典意义下的代数簇范畴到现代意义下的代数簇范畴. 其本质像为现代意义下的 上既约拟射影代数簇.

由此现代代数几何完全覆盖了古典代数几何.

3例子

仿射空间

射影空间

代数曲线

超曲面

4相关概念

概形

流形

术语翻译

代数簇英文 algebraic variety德文 algebraische Varität法文 variété algébrique拉丁文 varietas algebraica古希腊文 μεταριθμικὴ ποικιλία

英文 variety德文 Varität法文 variété拉丁文 varietas古希腊文 ποικιλία