闭浸入

概形间闭浸入是环满射在代数–几何对偶下的整体对应物. 在拓扑学或微分几何中, 它对应于闭嵌入.

1定义

定义 1.1. 称概形态射 $i:(Z,{\mathcal{O}}_Z)\to (X,{\mathcal{O}}_X)$ 为闭浸入, 指底空间映射 $i:Z\to X$ 是从 $Z$ 到 $X$ 的闭子空间的同胚, 而结构层映射 $i^{♯}:{\mathcal{O}}_X\to i_{\ast }{\mathcal{O}}_Z$ 是层满射. 此时亦称 $Z$ 是 $X$ 的闭子概形, $\ker (i^{♯})$ 为 $\mathbf{Z}$ 对应的理想层.

注 1.2. 与开子概形不同, 闭子概形并不能由它的底空间决定. 不过可以对概形的闭子空间赋予较为典范的概形结构, 即 “既约闭子概形”, 见定义 3.3.

2例子

例 2.1. 对环 $A$ 及其理想 $I$, 考虑素谱含入映射 $i:\mathrm{Spec}A/I\to \mathrm{Spec}A$, 它在拓扑空间上是闭子空间含入; 对每个 $f\in A$ 定义的满射 $A_f\twoheadrightarrow (A/I{)}_f$ 合起来给出层满射 ${\mathcal{O}}_{\mathrm{Spec}A}\twoheadrightarrow i_{\ast }{\mathcal{O}}_{\mathrm{Spec}A/I}$, 于是给出概形闭浸入. 下面将会看到, 每个闭浸入局部上都是这样.

3性质

以下命题是闭浸入最基本的刻画, 说明它等价于局部上是环满射.

命题 3.1. 概形态射 $i:Z\to X$ 是闭浸入, 当且仅当 $X$ 有仿射开覆盖 ${\bigcup }_{i\in I}{U}_i$, $U_i=\mathrm{Spec}{A}_i$, 满足 $i^{-1}(U_i)=\mathrm{Spec}{A}_i/I_i$, 且 $i$ 在 $i^{-1}(U_i)$ 上是例 2.1 中自然含入 $\mathrm{Spec}{A}_i/I_i\to \mathrm{Spec}{A}_i$. 此时对任一仿射开集 $U\subseteq X$, 都有 $i^{-1}(U)$ 仿射, 且 $i$ 在其上形如例 2.1.

从环 $A$ 出发的满射一一对应于 $A$ 的理想. 闭浸入也有同样的事情.

命题 3.2. $X$ 是概形. 则有范畴等价$$\{闭浸入i:Z\to X\}\cong \{拟凝聚理想层\mathcal{I}\subseteq {\mathcal{O}}_X\},$$其中左边的态射是 $X$-态射, 右边的态射是理想层含入. 特别地, $X$ 的闭子空间范畴是偏序集. 常将此偏序称为闭子概形的包含.

如果只考虑闭子空间结构而忽略概形结构, 则有如下命题.

命题 3.3. $X$ 是概形, 则有范畴等价$$\{闭子空间Z\subset X\}\cong \{拟凝聚根理想层\mathcal{I}\subseteq {\mathcal{O}}_X\},$$此时相应根理想层对应的闭子概形称为 $Z$ 诱导的既约闭子概形.

下面是一些概形论性质.

命题 3.4. 闭浸入关于复合和基变换封闭, 且是:

•	概形范畴单态射.
•	有限态射.
•	仿射态射.
•	紧合态射.

命题 3.5. 一个态射是闭浸入当且仅当它是泛闭单态射.

此外, 闭子概形有任意交. 这实际上是概形可沿仿射态射取任意极限的特殊情形.

命题 3.6. $X$ 是概形, $\{Z_i{\}}_{i\in I}$ 是其一族闭子概形, 则存在唯一闭子概形 $Z$, 包含于各个 $Z_i$, 且满足对任一映射 $f:Y\to X$, 如 $f$ 穿过每个 $Z_i$, 则它就穿过 $Z$.

4相关概念

•	浸入
•	有限态射
•	仿射态射
•	紧合态射

术语翻译

闭浸入 • 英文 closed immersion • 德文 abgeschlossene Immersion • 法文 immersion fermée • 拉丁文 immersio clausa • 古希腊文 κλειστὴ ἑμβάθυσις

闭子概形 • 英文 closed subscheme • 德文 abgeschlossenes Unterschema • 法文 sous-schéma fermé • 拉丁文 subschema clausum • 古希腊文 κλειστὸν ὑπόσχημα