闭浸入

在代数几何中, 闭浸入是一类概形态射, 用来定义闭子概形的概念, 即闭浸入是闭子概形向大概形的含入. 大致而言, 概形 $X$ 的闭子概形在局部上由 $X$ 上的一族正则函数的零点所定义, 正如仿射簇由仿射空间上一族多项式的零点定义. 因此, 仿射簇是仿射空间的闭子概形, 而一般的闭浸入则是这一概念的推广.

与开子概形不同, 闭子概形并不完全由其点集确定. 例如, 在仿射直线 ${\mathbb{A}}_k^1=\mathrm{Spec}k[x]$ 上, 由方程 $x=0$ 确定的闭子概形是原点 $\{0\}$, 它作为概形是 $\mathrm{Spec}k$; 由方程 $x^2=0$ 确定的闭子概形也是原点 $\{0\}$, 但它作为概形却是 $\mathrm{Spec}k[x]/(x^2)$, 这是一个非既约的概形. 另一方面, 如果加上既约的条件, 则概形的既约闭子概形完全由其点集确定.

在代数–几何对偶下, 闭浸入对应于交换环的满同态.

1定义

定义 1.1. 称概形态射 $i:Z\to X$ 为闭浸入, 是指它满足以下条件:

•	拓扑空间的映射 $i:Z\to X$ 是闭嵌入, 即从 $Z$ 到 $X$ 的某个闭子空间的同胚.

•	结构层的映射 $i^{♯}:{\mathcal{O}}_X\to i_{\ast }{\mathcal{O}}_Z$ 是层满射.

此时亦称 $Z$ 是 $X$ 的闭子概形, 称 $\ker (i^{♯})\subset {\mathcal{O}}_X$ 为 $Z$ 对应的理想层.

另外, 若 $Z,X$ 是某个域 $k$ 上的代数簇, 且 $i$ 是 $k$-概形的态射 (即代数簇态射), 也称 $Z$ 为 $X$ 的闭子簇.

2例子

例 2.1. 对交换环 $A$ 及其理想 $I$, 考虑素谱含入映射$$i:\mathrm{Spec}(A/I)⟶\mathrm{Spec}A,$$它在拓扑空间上是闭子空间含入; 对每个 $f\in A$ 定义的满射 $A_f\to (A/I{)}_f$ 合起来给出层满射 ${\mathcal{O}}_{\mathrm{Spec}A}\to i_{\ast }{\mathcal{O}}_{\mathrm{Spec}A/I}$, 于是给出概形闭浸入. 下面将会看到, 每个闭浸入局部上都是这样.

3性质

以下命题是闭浸入最基本的刻画, 说明它等价于局部上是环满射.

命题 3.1. 概形态射 $i:Z\to X$ 是闭浸入, 当且仅当 $X$ 有仿射开覆盖 ${\bigcup }_{i\in I}{U}_i$, $U_i=\mathrm{Spec}{A}_i$, 满足 $i^{-1}(U_i)=\mathrm{Spec}{A}_i/I_i$, 且 $i$ 在 $i^{-1}(U_i)$ 上是例 2.1 中自然含入 $\mathrm{Spec}{A}_i/I_i\to \mathrm{Spec}{A}_i$. 此时对任一仿射开集 $U\subseteq X$, 都有 $i^{-1}(U)$ 仿射, 且 $i$ 在其上形如例 2.1.

从环 $A$ 出发的满射一一对应于 $A$ 的理想. 闭浸入也有同样的事情.

命题 3.2. $X$ 是概形. 则有范畴等价$$\{闭浸入i:Z\to X\}\cong \{拟凝聚理想层\mathcal{I}\subseteq {\mathcal{O}}_X\},$$其中左边的态射是 $X$-态射, 右边的态射是理想层含入. 特别地, $X$ 的闭子空间范畴是偏序集. 常将此偏序称为闭子概形的包含.

如果只考虑闭子空间结构而忽略概形结构, 则有如下命题.

命题 3.3. $X$ 是概形, 则有范畴等价$$\{闭子空间Z\subset X\}\cong \{拟凝聚根理想层\mathcal{I}\subseteq {\mathcal{O}}_X\},$$此时相应根理想层对应的闭子概形称为 $Z$ 诱导的既约闭子概形.

下面是一些概形论性质.

命题 3.4. 闭浸入关于复合和基变换封闭, 且是:

•	概形范畴单态射.
•	有限态射.
•	仿射态射.
•	紧合态射.

命题 3.5. 一个态射是闭浸入当且仅当它是泛闭单态射.

此外, 闭子概形有任意交. 这实际上是概形可沿仿射态射取任意极限的特殊情形.

命题 3.6. $X$ 是概形, $(Z_i{)}_{i\in I}$ 是其一族闭子概形, 则存在唯一闭子概形 $Z$, 包含于各个 $Z_i$, 且满足对任一映射 $f:Y\to X$, 如 $f$ 穿过每个 $Z_i$, 则它就穿过 $Z$.

4相关概念

术语翻译

闭浸入 • 英文 closed immersion • 德文 abgeschlossene Immersion • 法文 immersion fermée • 拉丁文 immersio clausa • 古希腊文 κλειστὴ ἑμβάθυσις

闭子概形 • 英文 closed subscheme • 德文 abgeschlossenes Unterschema • 法文 sous-schéma fermé • 拉丁文 subschema clausum • 古希腊文 κλειστὸν ὑπόσχημα

闭子簇 • 英文 closed subvariety