平坦态射

在代数几何中, 平坦态射是一类概形态射. 直观上看, 态射 $f:X\to S$ 平坦, 是说当 $s\in S$ 移动时, 纤维 $X_s$ 看起来像是在连续地变化, 而不会跳跃. 这一描述并不是完全准确的, 例如开浸入都是平坦态射, 但其纤维可以从单点跳跃到空集. 但我们至少可以说, 在 $X$ 的每点周围, 这些纤维在该点附近看起来像是在连续变化. 若对 $f$ 加上一些限制, 例如假设 $f$ 为射影态射, 则此种跳跃现象就不会发生, 并且上述直观还可以严格化: 每个纤维的 Hilbert 多项式均相等.

这并不是说每个纤维 $X_s$ 都同构. 例如, 考虑态射$$f:X=\{(x,y,t)\in {\mathbb{C}}^3\mid xy=t\}⟶S=\mathbb{C},$$定义为 $f(x,y,t)=t$. 可以验证 $f$ 平坦. 而纤维 $X_0$ 是曲线 $xy=0$, 具有一个奇点; 其它纤维 $X_t$ 则是光滑曲线 $xy=t$. 这一族曲线看起来确实在连续地变化, 虽然其纤维不全同构.

在代数–几何对偶下, 平坦态射对应于环的平坦同态.

1定义

定义 1.1. 称概形态射 $f:X\to Y$ 为平坦态射, 如果以下等价条件成立.

1.	对任意 $x\in X$, 存在仿射开集 $x\in U\simeq \mathrm{Spec}A$ 及 $f(x)\in V\simeq \mathrm{Spec}R$, 使得 $f(U)\subset V$, 且诱导的环同态 $R\to A$ 是平坦同态.
2.	对任意仿射开集 $U\simeq \mathrm{Spec}A\subset X$ 及 $V\simeq \mathrm{Spec}R\subset Y$, 若 $f(U)\subset V$, 则诱导的环同态 $R\to A$ 是平坦同态.
3.	对任意 $x\in X$, 茎的同态 ${\mathcal{O}}_{Y,f(x)}\to {\mathcal{O}}_{X,x}$ 是平坦同态.

2性质

命题 2.1. 平坦态射的复合、基变换还是平坦态射.

证明. 由平坦同态的相应性质可得.

$\square$

命题 2.2. 开浸入、环局部化诱导的素谱的态射、整概形的一般点到该概形的含入都是平坦态射.

证明. 这些映射都诱导茎的同构.

$\square$

3相关概念

•	平坦同态
•	一般平坦性
•	平坦景
•	平坦下降

术语翻译

平坦态射 • 英文 flat morphism • 德文 flacher Morphismus (m) • 法文 morphisme plat (m) • 拉丁文 morphismus planus (m) • 古希腊文 ἐπίπεδος μορφισμός (m)