平坦同态

约定. 在本文中,

交换代数中, 平坦同态指的是环同态 , 满足 作为 -模平坦. 这一概念由 Jean-Pierre Serre 引入, 在几何上表示一种行为比较好的族, 又比纤维丛弱得多. 它虽然几何意义不甚明显, 但是在交换代数和代数几何中十分重要.

1定义

定义 1.1. 称环同态 平坦, 或称 上平坦, 意思是 作为 -模是平坦模, 即函子正合函子.

注 1.2.平坦模的性质, 这等价于对每个理想 , 乘法映射 为单射, 即 .

定义 1.3. 称环同态 忠实平坦, 或称 上忠实平坦, 意思是 作为 -模是忠实平坦模, 即函子忠实正合函子.

2性质

命题 2.1 (基变换). 对 (忠实) 平坦环同态 以及任意环同态 , 令 , 则 对应地 (忠实) 平坦.

证明. 这是平坦模忠实平坦模对应性质的立即推论.

命题 2.2. (忠实) 平坦同态的复合还是 (忠实) 平坦同态. 更一般地, 对环同态 -模 , 有:

平坦, 是平坦 -模, 则 是平坦 -模.

是忠实平坦 -模, 则 (忠实) 平坦等价于 作为 -模 (忠实) 平坦.

证明. 平坦, 上平坦, 则由知此函子正合, 所以 上平坦. 现如 上忠实平坦, 则 忠实、正合, 所以 (忠实) 正合当且仅当 (忠实) 正合, 即 (忠实) 平坦当且仅当 上 (忠实) 平坦.

注 2.3. 如只有 的平坦条件以及 作为 -模的平坦条件, 并不能得到 作为 -模的任何信息. 取 即可发现这一点.

命题 2.4. 对忠实平坦环同态 以及 -模 , 是 (忠实) 平坦 -模, 当且仅当 是 (忠实) 平坦 -模.

证明. 上 (忠实) 平坦等价于等号右边的函子 (忠实) 正合. 现由 忠实、正合便知这等价于 (忠实) 正合, 即 上 (忠实) 平坦.

注 2.5. 这一命题是一种忠实平坦下降, 即一个性质在忠实平坦基变换之后成立, 便在基变换之前也成立. 更显然的忠实平坦下降有如下命题: 是忠实平坦同态, -模同态. 则 单、满, 分别等价于 单、满. 这是因为首先 正合, 保持核与余核; 其次它忠实, 故原先的 (余) 核为零等价于作用之后的 (余) 核为零.

命题 2.6 (局部性). 对环同态 , 以下几条等价:

1.

平坦.

2.

的每个素理想 , 都有 平坦.

3.

的每个素理想 , 记 , 都有 平坦.

证明. 前两条等价是平坦模的局部性. 2 推 3 是因为 局部化, 局部化平坦, 平坦同态的复合平坦. 下证 3 推 1. 要对 -模正合列-模映射列正合. 由正合的局部性, 这等价于对 的每个素理想 , 上列在 处局部化正合. 而由条件 平坦, 是局部化, 也平坦, 所以 平坦, 所以上列正合.

命题 2.7. 环同态忠实平坦等价于平坦且在素谱上是满射.

证明. 回忆对环同态 以及 , 在素谱映射下的原像是 , 其中 的剩余域. 故 在素谱上是满射等价于对每个 都有 . 当 忠实平坦时这当然成立, 因为和忠实平坦模张量积是忠实函子, 不会把非零模变成 . 反过来如 平坦且在素谱上是满射, 要证它忠实平坦, 即要证对非零 -模 , 也非零. 注意到每个 -模都以某个 为子商, 故由 的正合性, 为子商. 而由条件后者为非零, 从而 也非零. 更详细的论证见忠实平坦模条目的相关命题.

命题 2.8. 局部环局部同态只要平坦就忠实平坦.

证明. 回忆局部环 的平坦模 忠实平坦等价于 . 而对局部同态 显然有 , 所以它只要平坦就忠实平坦.

以下性质常称为素理想 “下行”.

命题 2.9. 是平坦同态, 的素理想, 的素理想, 满足 . 则 有素理想 , 使得 .

证明. 换成 , 换成 , 可设 都是局部环. 现由命题 2.8 忠实平坦, 由命题 2.7 在素谱上是满射. 取 沿素谱映射的原像, 即得所求的 .

同态的忠实平坦和模的平坦有如下关系:

定理 2.10. 环同态 忠实平坦, 当且仅当 是单射, 且 是平坦 -模.

证明. 先证 “仅当”. 首先证明 有截面, 即存在环同态 满足 的情形. 此时 当然是单射; 又给出 -模直和分解 , 由 平坦有 平坦. 再将一般情形化归到有截面情形. 注意对忠实平坦同态 , 如记 , , 则由命题 2.4 与注 2.5, 是单射与 上平坦, 分别等价于 是单射与 上平坦. 这样, 上的对应命题就推出原命题. 现取 , 则 , 有截面, 即 的乘法映射. 这样便化归到了有截面情形.

再证 “当”. 如 是单射且 是平坦 -模, 则对任意 -模 , 写 -模短正合列 长正合列, 由 都平坦知 , 时有短正合列于是 平坦, 且 , 故 忠实平坦.

上面证明的第一段体现了忠实平坦下降的思想方法.

推论 2.11. 设环同态 忠实平坦、有限有限表现. 则 作为 -模映射分裂, 即 -模直和项.

证明. 定理给出短正合列 是平坦 -模. 由条件, 有限表现 -模. 于是由平坦模的性质知 投射模. 所以上述正合列分裂, 即 作为 -模映射分裂.

下面的命题也是一种忠实平坦下降.

命题 2.12. 是忠实平坦同态, 是理想. 则 .

证明., 则 , . 要证 . 由注 1.2, 含入映射 张量积 之后是同构, 故由注 2.5, 其本身就是同构, 即 .

平坦模的纤维判别法可得以下平坦同态判别:

定理 2.13. Noether 局部环的局部同态. 则它平坦当且仅当 .

3例子

以下例子和平坦模忠实平坦模的差不多.

上的代数都平坦, 且只要非零就忠实平坦.

主理想整环Dedekind 整环, 是整环, 是单射. 由于 上无挠模都是平坦模, 容易发现 是平坦同态.

对任意环 , 多项式环 都在 上平坦, 因为它作为 -模是自由模.

局部化都是平坦同态.

4相关概念

平坦模

忠实平坦模

局部环

局部化

奇迹平坦

平坦态射

忠实平坦下降

术语翻译

平坦同态英文 flat homomorphism德文 flacher Homomorphismus法文 homomorphisme plat

忠实平坦同态英文 faithfully flat homomorphism德文 treu flacher Homomorphismus法文 homomorphisme fidèlement plat