平坦同态

约定. 在本文中,

• 所有环都指交换环.

交换代数中, 平坦同态指的是环同态 $A\to B$, 满足 $B$ 作为 $A$-模平坦. 这一概念由 Jean-Pierre Serre 引入, 在几何上表示一种行为比较好的族, 又比纤维丛弱得多. 它虽然几何意义不甚明显, 但是在交换代数和代数几何中十分重要.

1定义

定义 1.1. 称环同态 $A\to B$ 平坦, 或称 $\mathbf{B}$ 在 $\mathbf{A}$ 上平坦, 意思是 $B$ 作为 $A$-模是平坦模, 即函子$$-{\otimes }_{A}B:A\text{-}\mathsf{Mod}\to B\text{-}\mathsf{Mod}$$是正合函子.

注 1.2. 由平坦模的性质, 这等价于对每个理想 $I\subseteq A$, 乘法映射 $I{\otimes }_{A}B\to B$ 为单射, 即 $I{\otimes }_{A}B=IB$.

定义 1.3. 称环同态 $A\to B$ 忠实平坦, 或称 $\mathbf{B}$ 在 $\mathbf{A}$ 上忠实平坦, 意思是 $B$ 作为 $A$-模是忠实平坦模, 即函子$$-{\otimes }_{A}B:A\text{-}\mathsf{Mod}\to B\text{-}\mathsf{Mod}$$是忠实正合函子.

2性质

命题 2.1 (基变换). 对 (忠实) 平坦环同态 $A\to B$ 以及任意环同态 $A\to A^{\prime }$, 令 $B^{\prime }=B{\otimes }_A{A}^{\prime }$, 则 $A^{\prime }\to B^{\prime }$ 对应地 (忠实) 平坦.

证明. 这是平坦模和忠实平坦模对应性质的立即推论.

$\square$

命题 2.2. (忠实) 平坦同态的复合还是 (忠实) 平坦同态. 更一般地, 对环同态 $f:A\to B$ 与 $B$-模 $M$, 有:

•	如 $f$ 平坦, $M$ 是平坦 $B$-模, 则 $M$ 是平坦 $A$-模.
•	如 $M$ 是忠实平坦 $B$-模, 则 $f$ (忠实) 平坦等价于 $M$ 作为 $A$-模 (忠实) 平坦.

证明. 如 $f$ 平坦, $M$ 在 $B$ 上平坦, 则由$$-{\otimes }_{A}M=(-{\otimes }_{A}B){\otimes }_{B}M$$知此函子正合, 所以 $M$ 在 $A$ 上平坦. 现如 $M$ 在 $B$ 上忠实平坦, 则 $-{\otimes }_{B}M$ 忠实、正合, 所以 $-{\otimes }_{A}M$ (忠实) 正合当且仅当 $-{\otimes }_{A}B$ (忠实) 正合, 即 $f$ (忠实) 平坦当且仅当 $M$ 在 $A$ 上 (忠实) 平坦.

$\square$

注 2.3. 如只有 $f$ 的平坦条件以及 $M$ 作为 $A$-模的平坦条件, 并不能得到 $M$ 作为 $B$-模的任何信息. 取 $A$ 是域即可发现这一点.

命题 2.4. 对忠实平坦环同态 $A\to B$ 以及 $A$-模 $M$, $M$ 是 (忠实) 平坦 $A$-模, 当且仅当 $M{\otimes }_{A}B$ 是 (忠实) 平坦 $B$-模.

证明. 由$$(-{\otimes }_{A}B){\otimes }_B(M{\otimes }_{A}B)=(-{\otimes }_{A}M){\otimes }_{A}B$$知 $M{\otimes }_{A}B$ 在 $B$ 上 (忠实) 平坦等价于等号右边的函子 (忠实) 正合. 现由 $-{\otimes }_{A}B$ 忠实、正合便知这等价于 $-{\otimes }_{A}M$ (忠实) 正合, 即 $M$ 在 $A$ 上 (忠实) 平坦.

$\square$

注 2.5. 这一命题是一种忠实平坦下降, 即一个性质在忠实平坦基变换之后成立, 便在基变换之前也成立. 更显然的忠实平坦下降有如下命题: $A\to B$ 是忠实平坦同态, $f:M\to N$ 是 $A$-模同态. 则 $f$ 单、满, 分别等价于 $f{\otimes }_{A}B:M{\otimes }_{A}B\to N{\otimes }_{A}B$ 单、满. 这是因为首先 $-{\otimes }_{A}B$ 正合, 保持核与余核; 其次它忠实, 故原先的 (余) 核为零等价于作用之后的 (余) 核为零.

命题 2.6 (局部性). 对环同态 $A\to B$, 以下几条等价:

1.	$A\to B$ 平坦.
2.	对 $A$ 的每个素理想 $\mathfrak{p}$, 都有 $A_{\mathfrak{p}}\to B_{\mathfrak{p}}$ 平坦.
3.	对 $B$ 的每个素理想 $\mathfrak{P}$, 记 $\mathfrak{p}=\mathfrak{P}\cap A$, 都有 $A_{\mathfrak{p}}\to B_{\mathfrak{P}}$ 平坦.

证明. 前两条等价是平坦模的局部性. 2 推 3 是因为 $B_{\mathfrak{P}}$ 是 $B_{\mathfrak{p}}$ 的局部化, 局部化平坦, 平坦同态的复合平坦. 下证 3 推 1. 要对 $A$-模正合列$$0\to M\to N\to Q\to 0$$证 $B$-模映射列$$0\to M{\otimes }_{A}B\to N{\otimes }_{A}B\to Q{\otimes }_{A}B\to 0$$正合. 由正合的局部性, 这等价于对 $B$ 的每个素理想 $\mathfrak{P}$, 上列在 $\mathfrak{P}$ 处局部化$$0\to M{\otimes }_A{B}_{\mathfrak{P}}\to N{\otimes }_A{B}_{\mathfrak{P}}\to Q{\otimes }_A{B}_{\mathfrak{P}}\to 0$$正合. 而由条件 $A_{\mathfrak{p}}\to B_{\mathfrak{P}}$ 平坦, $A\to A_{\mathfrak{p}}$ 是局部化, 也平坦, 所以 $A\to B_{\mathfrak{P}}$ 平坦, 所以上列正合.

$\square$

命题 2.7. 环同态忠实平坦等价于平坦且在素谱上是满射.

证明. 回忆对环同态 $A\to B$ 以及 $\mathfrak{p}\in \mathrm{Spec}A$, $\mathfrak{p}$ 在素谱映射下的原像是 $\mathrm{Spec}(B{\otimes }_{A}k(\mathfrak{p}))$, 其中 $k(\mathfrak{p})=A_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}{A}_{\mathfrak{p}}$ 是 $\mathfrak{p}$ 的剩余域. 故 $A\to B$ 在素谱上是满射等价于对每个 $\mathfrak{p}\in \mathrm{Spec}A$ 都有 $B{\otimes }_{A}k(\mathfrak{p})\ne 0$. 当 $A\to B$ 忠实平坦时这当然成立, 因为和忠实平坦模张量积是忠实函子, 不会把非零模变成 $0$. 反过来如 $A\to B$ 平坦且在素谱上是满射, 要证它忠实平坦, 即要证对非零 $A$-模 $M$, $M{\otimes }_{A}B$ 也非零. 注意到每个 $A$-模都以某个 $k(\mathfrak{p})$ 为子商, 故由 $-{\otimes }_{A}B$ 的正合性, $M{\otimes }_{A}B$ 以 $k(\mathfrak{p}){\otimes }_{A}B$ 为子商. 而由条件后者为非零, 从而 $M{\otimes }_{A}B$ 也非零. 更详细的论证见忠实平坦模条目的相关命题.

$\square$

命题 2.8. 局部环局部同态只要平坦就忠实平坦.

证明. 回忆局部环 $(A,\mathfrak{m})$ 的平坦模 $M$ 忠实平坦等价于 $\mathfrak{m}M⫋M$. 而对局部同态 $(A,\mathfrak{m})\to (B,\mathfrak{n})$ 显然有 $\mathfrak{m}B\subseteq \mathfrak{n}⫋B$, 所以它只要平坦就忠实平坦.

$\square$

以下性质常称为素理想 “下行”.

命题 2.9. $A\to B$ 是平坦同态, $\mathfrak{p}\supseteq \mathfrak{q}$ 是 $A$ 的素理想, $\mathfrak{P}$ 是 $B$ 的素理想, 满足 $\mathfrak{P}\cap A=\mathfrak{p}$. 则 $B$ 有素理想 $\mathfrak{Q}\subseteq \mathfrak{P}$, 使得 $\mathfrak{Q}\cap A=\mathfrak{q}$.

证明. 把 $A$ 换成 $A_{\mathfrak{p}}$, $B$ 换成 $B_{\mathfrak{P}}$, 可设 $(A,\mathfrak{p})$ 和 $(B,\mathfrak{P})$ 都是局部环. 现由命题 2.8 知 $A\to B$ 忠实平坦, 由命题 2.7 知 $A\to B$ 在素谱上是满射. 取 $\mathfrak{q}$ 沿素谱映射的原像, 即得所求的 $\mathfrak{Q}$.

$\square$

同态的忠实平坦和模的平坦有如下关系:

定理 2.10. 环同态 $f:A\to B$ 忠实平坦, 当且仅当 $f$ 是单射, 且 $\mathrm{coker}(f)$ 是平坦 $A$-模.

证明. 先证 “仅当”. 首先证明 $f$ 有截面, 即存在环同态 $g:B\to A$ 满足 $gf={\mathrm{id}}_A$ 的情形. 此时 $f$ 当然是单射; $g$ 又给出 $A$-模直和分解 $B=A\oplus \mathrm{coker}(f)$, 由 $B$ 平坦有 $\mathrm{coker}(f)$ 平坦. 再将一般情形化归到有截面情形. 注意对忠实平坦同态 $A\to A^{\prime }$, 如记 $B^{\prime }=B{\otimes }_A{A}^{\prime }$, $f^{\prime }:A^{\prime }\to B^{\prime }$, 则由命题 2.4 与注 2.5, $f$ 是单射与 $\mathrm{coker}(f)$ 在 $A$ 上平坦, 分别等价于 $f^{\prime }$ 是单射与 $\mathrm{coker}(f^{\prime })$ 在 $A^{\prime }$ 上平坦. 这样, $A^{\prime }$ 上的对应命题就推出原命题. 现取 $A^{\prime }=B$, 则 $B^{\prime }=B{\otimes }_{A}B$, $f^{\prime }:B\to B^{\prime }$ 有截面, 即 $B{\otimes }_{A}B$ 到 $B$ 的乘法映射. 这样便化归到了有截面情形.

再证 “当”. 如 $f$ 是单射且 $\mathrm{coker}(f)$ 是平坦 $A$-模, 则对任意 $A$-模 $M$, 写 $A$-模短正合列$$0\to A\to B\to \mathrm{coker}(f)\to 0$$的 ${\mathrm{Tor}}_i^A(M,-)$ 长正合列, 由 $A$ 与 $\mathrm{coker}(f)$ 都平坦知 $i>0$ 时 ${\mathrm{Tor}}_i^A(M,B)=0$, $i=0$ 时有短正合列$$0\to M\to M{\otimes }_{A}B\to M{\otimes }_A\mathrm{coker}(f)\to 0$$于是 $B$ 平坦, 且 $M\ne 0$ 时 $M{\otimes }_{A}B\ne 0$, 故 $B$ 忠实平坦.

$\square$

上面证明的第一段体现了忠实平坦下降的思想方法.

推论 2.11. 设环同态 $f:A\to B$ 忠实平坦、有限、有限表现. 则 $f$ 作为 $A$-模映射分裂, 即 $A$ 是 $B$ 的 $A$-模直和项.

证明. 定理给出短正合列$$0\to A\to B\to \mathrm{coker}(f)\to 0$$且 $\mathrm{coker}(f)$ 是平坦 $A$-模. 由条件, $\mathrm{coker}(f)$ 是有限表现 $A$-模. 于是由平坦模的性质知 $\mathrm{coker}(f)$ 是投射模. 所以上述正合列分裂, 即 $f$ 作为 $A$-模映射分裂.

$\square$

下面的命题也是一种忠实平坦下降.

命题 2.12. $A\to B$ 是忠实平坦同态, $I\subseteq A$ 是理想. 则 $IB\cap A=I$.

证明. 令 $J=IB\cap A$, 则 $J\supseteq I$, $JB=IB$. 要证 $J=I$. 由注 1.2, 含入映射 $I\to J$ 张量积 $B$ 之后是同构, 故由注 2.5, 其本身就是同构, 即 $I=J$.

$\square$

由平坦模的纤维判别法可得以下平坦同态判别:

定理 2.13. $(A,\mathfrak{m},k)\to (B,\mathfrak{n},\ell )$ 是 Noether 局部环的局部同态. 则它平坦当且仅当 ${\mathrm{Tor}}_1^A(B,k)=0$.

3例子

以下例子和平坦模与忠实平坦模的差不多.

•	域上的代数都平坦, 且只要非零就忠实平坦.
•	设 $A$ 是主理想整环或 Dedekind 整环, $B$ 是整环, $f:A\to B$ 是单射. 由于 $A$ 上无挠模都是平坦模, 容易发现 $f$ 是平坦同态.
•	对任意环 $A$, 多项式环 $A[x_1,\dots ,x_n]$ 都在 $A$ 上平坦, 因为它作为 $A$-模是自由模.
•	局部化都是平坦同态.

4相关概念

•	平坦模
•	忠实平坦模
•	奇迹平坦
•	平坦态射
•	忠实平坦下降

术语翻译

平坦同态 • 英文 flat homomorphism • 德文 flacher Homomorphismus • 法文 homomorphisme plat

忠实平坦同态 • 英文 faithfully flat homomorphism • 德文 treu flacher Homomorphismus • 法文 homomorphisme fidèlement plat