维数理论 (交换代数)

约定. 在本文中,

• 所有环都指交换环.

交换环的 Krull 维数定义简短, 但要证明它表现良好绝非易事. 例如 “$A$ 上一元多项式环比 $A$ 本身多一维” 这一断言看似十分基本, 但只知 Krull 维数定义者对此必无从下手. 维数理论就是由此类命题及其证明所组成. 换言之, 交换代数中的维数理论是交换环维数的基本性质的研究.

1主要定理与证明

维数理论的主定理是

定理 1.1. 对 Noether 局部环 $(R,\mathfrak{m},k)$ 及其有限生成模 $M$, 以下三数相等:

•	$M$ 的维数, 即 $\mathrm{Supp}(M)\subseteq \mathrm{Spec}R$ 的 Krull 维数, 或者说环 $R/\mathrm{Ann}(M)$ 的 Krull 维数, 记作 $\dim M$.
•	$M$ 的 Hilbert–Samuel 多项式 ${\chi }_M$ 的次数, 记作 $d(M)$.
•	$M$ 的参数系中元素的最少个数, 即最小的 $d$, 满足存在 $a_1,\dots ,a_d\in \mathfrak{m}$ 使得 $M/(a_1,\dots ,a_d)M$ 有限长. 将其记作 $d^{\prime }(M)$.

证明. 商去 $\mathrm{Ann}(M)$ 不改变任何事情, 故可设 $\mathrm{Ann}(M)=0$. 我们来证明 $\dim M\ge d^{\prime }(M)\ge d(M)\ge \dim M$.

$\dim M\ge d^{\prime }(M)$	对 $\dim M$ 归纳. $\dim M=0$ 时 $\mathrm{Supp}(M)=\{\mathfrak{m}\}$, 从而 $M$ 本身已经有限长, $d^{\prime }(M)=0$. 现对 $d>0$, 设 $\dim M<d$ 时命题已经成立, 来证明 $\dim M=d$ 情形. 为此写出 $\mathrm{Supp}(M)$ 里的极小素理想 ${\mathfrak{p}}_1,\dots ,{\mathfrak{p}}_n$. 注意结合素理想的理论保证这的确只有有限个. 用素理想回避取出 $a\in \mathfrak{m}$ 不在 ${\mathfrak{p}}_1,\dots ,{\mathfrak{p}}_n$ 中. 则 $\mathrm{Supp}(M/aM)\subset \mathrm{Supp}(M)$, 且不包含 ${\mathfrak{p}}_1,\dots ,{\mathfrak{p}}_n$. 故由 Krull 维数的定义, $\dim M/aM\le \dim M-1$. 于是由归纳假设, $d^{\prime }(M/aM)\le \dim M-1$, 故 $d^{\prime }(M)\le \dim M$.
$d^{\prime }(M)\ge d(M)$	设 $d^{\prime }(M)=d$, 来证 $d(M)\le d$. 依 $d^{\prime }(M)$ 的定义取出 $a_1,\dots ,a_d\in \mathfrak{m}$, 令 $I=(a_1,\dots ,a_d)$. 取 $M$ 的生成元 $m_1,\dots ,m_n$. 则由 $\mathrm{Ann}(M)=0$ 知映射$$(m_1,\dots ,m_n):R\to M^n$$是单射. 以此将 $R$ 视为 $M^n$ 的子模. 由 Artin–Rees 引理, 存在 $c\in \mathbb{N}$ 使得 $I\supseteq I^{c+1}{M}^n\cap R$, 于是 ${\ell }_R(R/I)\le {\ell }_R(\frac{R}{I^{c+1}{M}^n\cap R})\le {\ell }_R(M^n/I^{c+1}{M}^n)<\infty$. 这样就有 $\sqrt{I}=\mathfrak{m}$, 于是 $d(M)=\mathrm{deg}{\chi }_M^{\mathfrak{m}}=\mathrm{deg}{\chi }_M^I$. 而 $I$ 由 $d$ 个元素生成, 故由 Hilbert–Samuel 多项式的性质知 $d(M)\le d$.
$d(M)\ge \dim M$	对 $d(M)$ 归纳. $d(M)=0$ 无非就是说 $M$ 有限长, 此时自然有 $\dim M=0$. 现对 $d>0$, 设 $d(M)<d$ 时命题已经成立, 来证明 $d(M)=d$ 情形. 首先注意如$$0\to M^{\prime }\to M\to M^{\prime \prime }\to 0$$是短正合列, 则 $\mathrm{Supp}(M)=\mathrm{Supp}(M^{\prime })\cup \mathrm{Supp}(M^{\prime \prime })$, 故 $\dim M=\max \{\dim M^{\prime },\dim M^{\prime \prime }\}$. 由 Hilbert–Samuel 多项式的性质亦知 $d(M)=\max \{d(M^{\prime }),d(M^{\prime \prime })\}$. 故命题只要对 $M^{\prime },M^{\prime \prime }$ 成立, 也就对 $M$ 成立. 于是由结合素理想的理论, 可不妨设 $M=R/\mathfrak{p}$, $\mathfrak{p}$ 为素理想. 又由于一开始的假设 $\mathrm{Ann}(M)=0$, 知 $\mathfrak{p}=0$, $R$ 为整环, $M=R$. 设 $0⫋{\mathfrak{p}}_1$ 是 $R$ 的最长素理想链的前两项, 任取非零元 $a\in {\mathfrak{p}}_1$, 作正合列$$0\to aR\to R\to R/a\to 0$$则 $\dim R/a=\dim R-1$. 于是只需证 $d(R/a)<d(R)$, 这样由归纳假设即得结论. 而由 Hilbert–Samuel 多项式的性质, 存在 $c\in \mathbb{N}$ 使得 $n\ge c$ 时$${\chi }_{R/a}(n)\le {\chi }_R(n)-{\chi }_{aR}(n-c);$$而 $R$ 是整环, $aR\cong R$, 所以上式推出 $\mathrm{deg}{\chi }_{R/a}<\mathrm{deg}{\chi }_R$, 即 $d(R/a)<d(R)$.

$\square$

推论 1.2 (与切空间维数关系). 记号同上. 有 $\dim R\le {\dim }_k(\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2)$, 其中右边的 $\dim$ 是线性空间维数. 所以如 Noether 环 $A$ 的每个极大理想都被不超过 $d$ 个元素生成, 则 $\dim A\le d$. 特别地, 不是域的主理想整环的维数是 $1$.

证明. 设 $d={\dim }_k(\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2)$, 取 $a_1,\dots ,a_d\in \mathfrak{m}$ 使其在 $\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2$ 的像是一组基. 则由 Nakayama 引理, $(a_1,\dots ,a_d)=\mathfrak{m}$. 所以由定理知 $\dim R\le d$. 后一句话是因为 $\dim A=\sup \{\dim A_{\mathfrak{m}}\mid \mathfrak{m}是A的极大理想\}$.

$\square$

推论 1.3. 对 Noether 环 $A$, 其上有限生成模 $M$, 及其元素 $a_1,\dots ,a_c$, $\dim M/(a_1,\dots ,a_c)M\ge \dim M-c$. 适当选取 $a_1,\dots ,a_c$, 可以取到等号.

证明. 这是因为定理中 $\dim M=d^{\prime }(M)$.

$\square$

推论 1.4. 对 Noether 环 $A$, $$\dim A=\sup \{\mathrm{deg}(n\mapsto {\ell }_A(A/{\mathfrak{m}}^n))\mid \mathfrak{m}是A的极大理想\}.$$

证明. 注意左边等于 ${\sup }_{\mathfrak{m}}\dim A_{\mathfrak{m}}$, 右边等于 ${\sup }_{\mathfrak{m}}d(A_{\mathfrak{m}})$, 由定理它们相等.

$\square$

推论 1.5. 对 Noether 环 $A$, $\dim A[[X]]=\dim A+1$. 于是 $\dim A[[X_1,\dots ,X_n]]=\dim A+n$.

证明. 由形式幂级数的性质, $X$ 在 $A[[X]]$ 的 Jacobson 根中, 即被每个极大理想所包含. 于是由同构定理, $A[[X]]$ 的极大理想都形如 $\mathfrak{m}+XA[[X]]$, 其中 $\mathfrak{m}$ 是 $A$ 的极大理想. 由此不难算出$${\ell }_{A[[X]]}(A[[X]]/(\mathfrak{m}+XA[[X]]{)}^n)=\sum _{i=1}^n{\ell }_A(A/{\mathfrak{m}}^i),$$由上一个推论即得结论.

$\square$

定理 1.6 (纤维维数). 设 $f:(R,\mathfrak{m})\to (S,\mathfrak{n})$ 是 Noether 局部环的局部同态. 则$$\dim S\le \dim R+\dim S/\mathfrak{m}S,$$且在 $f$ 为平坦同态时取等.

证明. 记 $d=\dim R$, $e=\dim S/\mathfrak{m}S$. 取 $R$ 的参数系 $a_1,\dots ,a_d$, $S/\mathfrak{m}S$ 的参数系 ${\bar{b}}_1,\dots ,{\bar{b}}_e$ 及其在 $S$ 中的提升 $b_1,\dots ,b_e$. 则由 $\sqrt{(a_1,\dots ,a_d)}=\mathfrak{m}$, 有 $\sqrt{(a_1,\dots ,a_d)S}\supseteq \mathfrak{m}S$; 又 $\sqrt{({\bar{b}}_1,\dots ,{\bar{b}}_e)}=\overline{\mathfrak{n}}$, 从而 $\sqrt{(a_1,\dots ,a_d,b_1,\dots ,b_e)}=\mathfrak{n}$. 所以 $\dim S\le d+e$.

现设 $f$ 平坦, 来证明 $\dim S\ge d+e$. 取 $S/\mathfrak{m}S$ 的最长素理想链, 记其在 $S$ 中原像为$$\mathfrak{n}={\mathfrak{P}}_0⫌{\mathfrak{P}}_1⫌\cdots ⫌{\mathfrak{P}}_e.$$再取 $R$ 的最长素理想链$$\mathfrak{m}={\mathfrak{p}}_0⫌{\mathfrak{p}}_1⫌\cdots ⫌{\mathfrak{p}}_d.$$由 ${\mathfrak{P}}_e\cap R=\mathfrak{m}$, 用平坦同态的素理想下行, 可在 $S$ 中取到素理想链$${\mathfrak{P}}_e={\mathfrak{q}}_0⫌{\mathfrak{q}}_1⫌\cdots ⫌{\mathfrak{q}}_d,$$使得 ${\mathfrak{q}}_i\cap R={\mathfrak{p}}_i$. 于是在 $S$ 中就有素理想链$$\mathfrak{n}={\mathfrak{P}}_0⫌{\mathfrak{P}}_1⫌\cdots ⫌{\mathfrak{P}}_e={\mathfrak{q}}_0⫌{\mathfrak{q}}_1⫌\cdots ⫌{\mathfrak{q}}_d,$$故 $\dim S\ge d+e$.

$\square$

注 1.7. 同样的方法可以证明, 如 $M$ 是有限生成 $R$-模, $N$ 是有限生成 $S$-模. 则$$\dim (M{\otimes }_{R}N)\le \dim M+\dim N/\mathfrak{m}N,$$且当 $N$ 在 $R$ 上平坦时取等.

推论 1.8. 对 Noether 环 $A$, $\dim A[X]=\dim A+1$. 于是 $\dim A[X_1,\dots ,X_n]=\dim A+n$.

证明. 设 $\dim A=d$. 取 $A$ 的最长素理想链$${\mathfrak{p}}_0⫋\cdots ⫋{\mathfrak{p}}_d,$$则显然$${\mathfrak{p}}_{0}A[X]⫋\cdots ⫋{\mathfrak{p}}_{d}A[X]⫋{\mathfrak{p}}_{d}A[X]+XA[X]$$是 $A[X]$ 中长度为 $d+1$ 的素理想链, 于是 $\dim A\ge d+1$. 接下来要对 $A[X]$ 的任一极大理想 $\mathfrak{n}$ 证明 $\dim A[X{]}_{\mathfrak{n}}\le d+1$. 记 $\mathfrak{m}=\mathfrak{n}\cap A$, $k=A_{\mathfrak{m}}/\mathfrak{m}{A}_{\mathfrak{m}}$. 对同态 $A_{\mathfrak{m}}\to A[X{]}_{\mathfrak{n}}$ 用定理 1.6 得$$\dim A[X{]}_{\mathfrak{n}}\le \dim A_{\mathfrak{m}}+\dim k[X{]}_{\overline{\mathfrak{n}}}\le \dim A+\dim k[X]=d+1,$$其中 $\dim k[X]=1$ 是因为 $k[X]$ 是主理想整环.

$\square$

定理 1.9 (Krull 维数与超越次数的关系). 域上有限生成整环的维数等于其分式域的超越次数.

证明. 设 $A$ 是域 $k$ 上有限生成的整环, $K$ 是其分式域. 则由 Noether 正规化, 存在 $d\in \mathbb{N}$ 以及有限单射 $k[X_1,\dots ,X_d]\to A$. 则 $K/k(X_1,\dots ,X_d)$ 是有限扩张, 由此可得 $d$ 是 $K/k$ 的超越次数. 由整扩张的性质, $d$ 也是 $A$ 的维数.

$\square$

2例子

下面这些例子从另一个方向说明维数理论十分不平凡.

例 2.1. 不局部的 Noether 环维数可以是无穷.

取域 $k$, 令 $A=k[X_1,X_2,\dots ]$ 为无穷多个变元的多项式环, $P_n=(X_{n^2},X_{n^2+1},\dots ,X_{n^2+2n})$ 为其一列素理想. 令 $S$ 为 ${\bigcup }_{n=1}^{\infty }{P}_n$ 的补集, 则其为乘性子集. 考虑 $B=S^{-1}A$, 则 $B$ 就是无穷维的 Noether 环. 首先注意对每个正整数 $n$, $$(X_{n^2})⫋(X_{n^2},X_{n^2+1})⫋\cdots ⫋(X_{n^2},X_{n^2+1},\dots ,X_{n^2+2n})$$是 $B$ 中长度为 $2n$ 的素理想链, 故 $\dim B=\infty$. 其次对 $B$ 的任一非零素理想 $\mathfrak{p}$, 取其非零元然后用多项式环的唯一分解, 不难发现存在正整数 $n$ 使得 $\mathfrak{p}\subseteq P_n$. 于是 $\mathfrak{p}$ 对应于$$B_{P_n}=A_{P_n}=k(X_i{)}_{i\notin \{n^2,\dots ,n^2+2n\}}[X_{n^2},\dots ,X_{n^2+2n}]$$的素理想. 由此不难发现 $\mathfrak{p}$ 为有限生成. 于是 $B$ 的每个素理想都有限生成, 故由 Noether 环的性质知 $B$ 为 Noether 环.

例 2.2. Noether 整环中可以有两条极长素理想链不等长.

取离散赋值环 $R$, 设其素元为 $\pi$. 则 $\dim R[X]=\dim R+1=2$, $0⫋(\pi )⫋(\pi ,X)$ 是一条极长素理想链. 然而 $0⫋(1-\pi X)$ 也是一条极长素理想链, 长度只有 $1$. 这里由 $R[{\pi }^{-1}]$ 是域知 $(1-\pi X)$ 是极大理想.

注 2.3. 上例中的环 $R[X]$ 不是局部环. 也有局部环的例子, 但就困难得多. 参见条目悬链环.

例 2.4. 对不 Noether 的环 $R$, 可以有 $\dim R[X]>\dim R+1$.

3同调不变量

4相关概念

•	分次环
•	Hilbert–Samuel 多项式
•	Krull 高度定理

术语翻译

维数理论 • 英文 dimension theory • 德文 Dimensiontheorie • 法文 théorie de la dimension