局部环

局部环是只有一个极大理想的环. 它描述的是空间上某点附近所有函数芽构成的环, 它的极大理想就是所有在该点取值为 $0$ 的函数芽构成的理想. 因此, 在代数–几何对偶的观点中, 局部环对应于空间在某个点附近的性质.

1定义

定义 1.1 (局部环). 称环 $A$ 为局部环, 指其非零且具有唯一的左极大理想 $\mathfrak{m}$. 此时也可记此局部环为 $(A,\mathfrak{m})$.

注 1.2. 特别地, 交换环 $A$ 是局部环, 如果其具有唯一的极大理想.

定义 1.3 (局部同态). 两个局部环 $(A,\mathfrak{m})$, $(B,\mathfrak{n})$ 之间的局部同态指环同态 $f:A\to B$, 满足 $f(\mathfrak{m})\subseteq \mathfrak{n}$, 也即 $f^{-1}(\mathfrak{n})=\mathfrak{m}$.

2性质

命题 2.1. 对于环 $A$, $U(A)$ 表示它所有的单位, 以下条件等价:

1.	$A$ 有唯一的左极大理想;
2.	$A$ 有唯一的右极大理想;
3.	$A/\mathrm{rad}A$ 是除环, 其中 $\mathrm{rad}A$ 是 $A$ 的 Jacobson 根;
4.	$A\setminus U(A)$ 是理想;
5.	$A\setminus U(A)$ 构成加法群.

如 A 是局部环, 则其左极大理想同时也是右极大理想, 可统称为极大理想.

定义 2.2. 由上述, 记局部环 $A$ 的极大理想为 $\mathfrak{m}$, 则 $A/\mathfrak{m}$ 是除环, 称为 $A$ 的剩余除环. 在 $A$ 为交换环时, 此除环是域, 称为 $A$ 的剩余域. 常以 “局部环 $(A,\mathfrak{m},k)$” 表示局部环 $A$, 极大理想为 $\mathfrak{m}$, 剩余除环为 $k$.

推论 2.3. 设 $A\ne 0$, $A\setminus U(A)$ 中任何元素幂零, 则 $A$ 是局部环.

证明. 我们证明 $A\setminus U(A)$ 是理想.

为此, 我们先证明幂零元乘任何元均幂零. 设 $0\ne u\in A\setminus U(A)$, 正整数 $n$ 使 $u^{n+1}=0$, $u^n\ne 0$. 任取 $v\in A$, 则 $u^n(uv)=(vu)u^n=0$, 故 $uv$ 和 $vu$ 均不可逆, 故均幂零.

下面我们证明任两个幂零元的和幂零. 设 $u_1,u_2\in A\setminus U(A)$, $u_1+u_2$ 可逆, 则可取 $v_1=u_1(u_1+u_2{)}^{-1},v_2=u_2(u_1+u_2{)}^{-1}$, 从而 $v_1,v_2$ 幂零, 而 $v_1+v_2=1$. 这时设 $v_2^n=0$, 则$$(1-v_2)(1+v_2+\cdots +v_2^{n-1})=1-v_2^n=1,$$从而 $v_1=1-v_2$ 可逆, 矛盾. 故任两个幂零元的和幂零.

由上面的命题, $A$ 是局部环.

$\square$

命题 2.4. 对局部环 $(A,\mathfrak{m})$ 上的有限表现模, 自由、投射、平坦三条件等价.

证明. 在一般情况下, 自由蕴涵投射, 投射蕴涵平坦. 因此只需证明在有限表现情况下平坦蕴涵自由. 对平坦模 $M$, 取 $M$ 中元素 $\{e_i{\}}_{i=1}^n$, 使其在 $M/\mathfrak{m}M$ 中的像构成其一组基. 则有正合列$$0\to K\to A^n\to M\to 0.$$此时 $K$ 为有限生成模, 由 $M$ 的平坦性, 此正合列与 $A/\mathfrak{m}$ 做张量积后变为: $$0\to K/\mathfrak{m}K\to (A/\mathfrak{m}{)}^n\to M/\mathfrak{m}M\to 0.$$由构造知倒数第二个箭头为同构, 则 $K/\mathfrak{m}K=0$. 由 Nakayama 引理知 $K=0$, 则 $M$ 为自由模.

$\square$

注 2.5. 事实上此处条件只需要有限生成, 但证明就麻烦一些. 参见条目平坦模.

3例子

•	域 (一般地, 除环) 是局部环.
•	对交换环 $A$ 与其素理想 $\mathfrak{p}$, 局部化 $A_{\mathfrak{p}}$ 是局部环.
•	对特征 $p$ 域 $k$ 和 $p$ 群 $G$, 群代数 $k[G]$ 是局部环.
•	有限长不可分解模的自同态环是局部环.

4相关概念

•	局部化
•	Nakayama 引理

术语翻译

局部环 • 英文 local ring • 德文 lokaler Ring (m) • 法文 anneau local (m) • 拉丁文 anellus localis • 古希腊文 τοπικὸς δακτύλιος