极大理想

极大理想是指一个环的所有真 (左, 右, 双) 理想中的极大元.

在代数–几何对偶中, 极大理想对应于空间的一个闭点.

极大理想一般用哥特体字母 $\mathfrak{m}$ 表示.

1定义

定义 1.1. 环 $A$ 的 (左, 右, 双) 极大理想是环 $A$ 的真 (左, 右, 双) 理想 $\mathfrak{m}$, 使真包含其的理想必为环本身.

注 1.2. 等价地, 环 $A$ 的极大理想是环 $A$ 的所有真理想中极大元, 其中两个理想的序关系为 $I_1\le I_2\iff I_1\subset I_2$.

注 1.3. 双极大理想很可能既不是左极大理想, 也不是右极大理想. 例如矩阵环中, 双极大理想为零理想.

2性质

命题 2.1. 对任意环, 其 (左, 右, 双) 极大理想均存在.

命题 2.2. 对环 $A$, $\mathfrak{m}$ 是 (左, 右) 极大理想当且仅当商模 $A/\mathfrak{m}$ 是 (左, 右) 单模.

命题 2.3. 对环 $A$, $\mathfrak{m}$ 是双极大理想当且仅当商环 $A/\mathfrak{m}$ 是单环. 特别地, 对交换环 $A$, $\mathfrak{m}$ 是极大理想当且仅当商环 $A/\mathfrak{m}$ 是域.

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中国剩余定理

3相关概念

•	素理想
•	单模
•	根 (环论)
•	局部环

术语翻译

极大理想 • 英文 maximal ideal • 德文 maximales Ideal • 法文 idéal maximal • 拉丁文 ideal maximum • 古希腊文 μέγιστον ἰδεῶδες