长度 (模论)

模论中, 长度指的是其合成列的长度. 这是模论中最基本的一个数值不变量.

以下只对左模陈述定义与性质. 右模的情形当然完全一样.

1定义

定义 1.1. 是环, 是左 -模. 称 有限长, 指它有合成列, 即存在链使得对 , 单模. 由 Jordan–Hölder 定理, 这个自然数 只依赖于 , 而不依赖于以上模链的选取. 将其称为 长度, 记作 . 当 不是有限长时, 称其长度为无穷.

2性质

一般性质

命题 2.1. 对环 及其左模短正合列 有限长当且仅当 都有限长, 且有

证明. 有限长, 取其合成列, 将各项与 取交, 再删去重复的项, 就会得到 的合成列; 同样地, 取各项在 中的像, 再删去重复的项, 就会得到 的合成列. 所以如 有限长, 就有 都有限长.

反过来如 都有限长, 把 的合成列在 中取原像, 再与 的合成列相接, 就会得到 的合成列. 于是有 有限长, 且 .

命题 2.2. 及其左模 , 以下几条等价:

1.

为有限长.

2.

ArtinNoether.

3.

为 Artin 且有限生成.

此时 为左 Artin 环.

证明. 以下在 3 推 1 的过程中证明 左 Artin.

1 推 2

有限长, 则其任一子模族中长度最小、最大者显然就是族的极小、极大元, 所以 为 Artin 且 Noether.

2 推 3

这是因为 Noether 模都有限生成.

3 推 1

商去 不改变任何事情, 故可不妨设 . 取 的生成元 , 则映射为单射. 所以 作为自己的左模 Artin, 即其为左 Artin 环. 于是由 Hopkins–Levitzki 定理 作为自己的左模有限长. 这样由 为有限长.

命题 2.3. 是环, 是有限长左 -模, 是自同态. 则存在唯一 -不变直和分解 , 使得 为幂零, 为同构. 特别地,

证明. 由命题 2.2, 子模链均终止. 取 使其终止于 , . 记此二模为 , 下证其满足要求.

首先对 用同构定理知 , 于是 . 显然 皆为 不变, 且 上幂零. 由 上是满射. 于是 , 从而由长度等式知 . 最后由 上是同构.

交换代数性质

本小节中的环都是交换环.

命题 2.4.Noether 环 及其有限生成模 , 以下几条等价:

1.

为有限长.

2.

的支集 只有极大理想.

3.

结合素理想 只有极大理想.

特别地, 如 是局部环, 极大理想为 , 则

证明. 首先由结合素理想包含支集中所有极小元, 知 2 与 3 等价.

1 推 2

由于对短正合列, 将 按合成列拆成单模, 只需对单模证. 而单模都形如 , 为极大理想, 其支集为 , 当然只有极大理想.

2 推 1

结合素理想的理论, 有滤链满足 , 为素理想. 由 的支集中只有极大理想, 知这些 都是极大理想. 于是 都是单模, 以上滤链为合成列, 故 有限长.

于是 Noether 环上的非零模有限长当且仅当其 Krull 维数.

3例子

除环上的模是自由模, 长度就是其.

取定域 . 其上一元多项式环 的模 的长度是 .

一般地, 对主理想整环 及其元素 , 的长度是 的素因子个数 (计重数).

4相关概念

Artin 模

Noether 模

Hilbert 多项式

术语翻译

长度英文 length德文 Länge (f)法文 longueur (f)拉丁文 longitudo (f)古希腊文 μῆκος (n)