Artin 环

Artin 环是具有一定有限性质的环, 满足任意理想族都有极小元 (定义 1.1).

1定义

定义 1.1. 称一个环为

•	左 Artin 环, 意思是其任一族左理想在包含偏序下都有极小元.
•	右 Artin 环, 意思是其任一族右理想在包含偏序下都有极小元.
•	Artin 环, 意思是其既是左 Artin 环也是右 Artin 环.

显然对于交换环, 这些概念都是一样的.

注 1.2 (理想链定义). 左 Artin 的一个等价定义是左理想降链都终止, 即对任意左理想降链$$I_1\supset I_2\supset \cdots ,$$都存在 $n$ 使得 $I_n=I_{n+1}=\cdots$.

左 Artin 显然推出降链终止, 因为上面的降链必须终止于理想族 $\{I_n{\}}_{n\in {\mathbb{Z}}_{+}}$ 的极小元. 反过来如不左 Artin, 则存在一族左理想没有极小元, 便可归纳取出严格下降的左理想链.

对右 Artin 与 Artin 亦有完全一样的事情.

2性质

一般性质

以下只陈述左 Artin 环的性质. 右边当然是完全一样的. 以下两条性质与 Noether 环对称.

命题 2.1. 左 Artin 环的商环总是左 Artin.

证明. 这是因为同构定理, $A/I$ 的左理想与 $A$ 中包含 $I$ 的左理想一一对应.

$\square$

命题 2.2. 一个环左 Artin, 等价于其上所有有限生成左模为左 Artin 模, 即等价于其上有限生成左模的子模也有限生成.

下面则是与 Noether 环不对称的性质. 对环而言, Artin 严格强于 Noether, 这与 Artin 模和 Noether 模的关系大不相同.

命题 2.3. 半单环正是那些 Jacobson 根等于零的左 Artin 环.

证明. 由 Artin–Wedderburn 定理, 半单环 Jacobson 根为 $0$; 且由该定理的证明, 它作为自己的左模有限长, 知左 Artin. 反过来设 $R$ 为左 Artin 环, Jacobson 根为 $0$. 由左 Artin, 所有极大左理想的交是它们中有限个的交, 故存在极大左理想 ${\mathfrak{m}}_1,\dots ,{\mathfrak{m}}_n$ 交为 $0$. 于是自然映射$$R\to \underset{i=1}{\overset{n}{⨁}}R/{\mathfrak{m}}_i$$为单射, 即 $R$ 是半单左 $R$-模的子模, 为半单.

$\square$

定理 2.4 (Hopkins–Levitzki). 左 Artin 环一定是左 Noether 环, 即它作为自己的左模有限长. 其 Jacobson 根等于幂零根.

证明. 考虑左 Artin 环 $R$. 记其 Jacobson 根为 $J$. 首先对降链$$R\supseteq J\supseteq J^2\supseteq \cdots$$用 Artin 性, 知存在 $n\in \mathbb{N}$ 使得 $J^n=J^{n+1}$. 先证 $J^n=0$. 反证法, 如 $J^n\ne 0$, 考虑非空的左理想集合$$\{\mathfrak{a}\subseteq R\mid J^n\mathfrak{a}\ne 0\},$$由 Artin 性其有极小元. 显然此极小元一定是主理想, 设为 $Ra$. 由于 $J^{n+1}=J^n$, $J^n(Ja)=J^{n+1}Ra\ne 0$, 故由极小性 $Ja=Ra$. 但依定义 $Ra\ne 0$, 这与 Nakayama 引理矛盾! 故 $J^n=0$.

所以, 为证 $R$ 作为自己的左模有限长, 只需对每个自然数 $m$ 说明 $J^m/J^{m+1}$ 作为 $R/J$ 模有限长. 由以上命题, $R/J$ 为半单环, Morita 等价于有限个除环之积, 于是对其左模, 有限长等价于 Artin. 而 $R$ 左 Artin 自然推出左模 $J^m/J^{m+1}$ 为 Artin, 即得定理.

$\square$

Artin 环上平坦模和投射模一样.

命题 2.5. 左 Artin 环的平坦右模投射.

交换代数性质

交换的 Artin 环有些特有的性质. 本小节中的环都指交换环.

命题 2.6. 交换环 Artin 当且仅当其 Noether 且零维.

定理 2.7 (结构定理). Artin 环都是 Artin 局部环的有限乘积. Artin 局部环是极大理想幂零的 Noether 环.

如果以代数几何的观点来看, Artin 环代表着有限点型的 Noether 概形的谱:

命题 2.8. Noether 环 $A$ 是 Artin 环等价于 $\mathrm{Spec}A$ 是有限离散的. 反过来离散的 Noether 概形都是 Artin 环的谱.

但是 $\mathrm{Spec}A$ 在结构层上可能会有幂零的元素, 即在局部上构成无穷小邻域.

3例子

•	域上有限维的结合代数是 Artin 环. 特别地, 有限群 $G$ 的 $k$-群代数 $k[G]$ 是 Artin 环.
•	$k[t]/(t^n)$ 是 Artin 环.
•	左 Artin 环可以不右 Artin, 甚至不右 Noether. 任取不有限的域扩张 $E/F$, 即 $E$ 作为 $F$-向量空间为无穷维. 则$$\left[\begin{array}{cc}F& 0\\ E& E\end{array}\right]$$就是这样的环.

4相关概念

•	半单环
•	Artin 模

术语翻译

Artin 环 • 英文 Artinian ring • 德文 artinscher Ring • 法文 anneau artinien