素谱

约定. 在本文中,

素谱交换代数代数几何中的基本构造. 给定交换环 , 其素谱 是一个拓扑空间, 其中的点对应于 素理想. 素谱也带有自然的几何结构, 即环化空间的结构, 从而成为仿射概形.

代数–几何对偶下, 交换环 作为代数对象, 其对应的几何对象就是其素谱 . 直观来说, 我们将 的元素视为 上的函数, 从而 上的所有函数构成的环恰为 自身.

例如, 对 而言, 多项式环 的素谱就是 上的 仿射空间, , 也就是 上的 向量空间 代数几何中的样子. 直观地看, 上的所有多项式函数构成的环就是 元多项式环 , 这与上述对代数–几何对偶的描述相符. 更严格地看, 若 代数闭域, 则由 Hilbert 零点定理, 知道向量空间 的元素与 极大理想一一对应, 而 的其余素理想则对应了 中的一些 “多余的点”, 即一般点. 这些点虽然看似无用, 但却是现代代数几何中十分重要的工具.

1定义

作为拓扑空间

定义 1.1 (素谱).交换环. 则 素谱, 简称, 指的是 的所有素理想构成的集合, 记作 . 它带有以下拓扑, 称为 Zariski 拓扑:

理想 , 定义其零点集 的子集我们规定, 子集 闭集, 当且仅当 是某个理想 的零点集, 即 .

这的确定义出拓扑, 因为:

, 即空集是闭集.

对理想 , 由素理想的性质有 , 即两个闭集之并是闭集.

对一理想 , 即闭集的任意交是闭集.

我们称 为零点集, 因为可以将 的元素视为 上的函数, 故理想 可视为 上的一族函数. 子集 就是这些函数的公共零点构成的集合.

, 也以 , 即 生成的主理想 的零点集.

定义 1.2 (主开集)., 记它是 中开集, 称为 对应的主开集.

作为环化空间

我们在拓扑空间 上定义环 , 从而将 视为局部环化空间.

定义 1.3. 定义 上的环层 如下:

, 在主开集 上, 定义 关于 局部化.

, 则可验证 中可逆, 故有自然的限制映射 .

由以下命题 3.2, 主开集构成 拓扑基. 可以验证这里的定义了该拓扑基上的拓扑基上层, 从而给出了 上的层.

可以验证 局部环化空间, 称为 素谱, 也即 对应的仿射概形.

注意到以下特例.

整体截面环为 , 因为 .

2例子

的素谱是单点空间, .

离散赋值环 的素谱是两个点 , 为开, 为闭, 的闭包包含 .

整数环 的素谱是其中开集为包含 、补集有限的集合, 或者空集.

域上一元多项式环, 或一般的主理想整环的素谱, 都与上例类似, 包含各个非零素理想以及 , 开集亦为包含 、补集有限的集合, 或者空集.

的素谱就比较复杂. 它大体上有三层: 极大理想素理想、. 每一层的点的闭包都只会包含自己以及前面的层的点. 换言之, 其 Krull 维数.

Boole 环的素谱是其 Stone 空间. 更一般地, 如有 Hausdorff 完全不连通空间 以及域 , 环的素谱是 .

3性质

拓扑性质

命题 3.1. 素谱总是 , 但未必 . 中, 点 的闭包是所以一个点是闭点当且仅当它是极大理想.

命题 3.2. 有限个主开集的交仍是主开集, 且主开集构成素谱的拓扑基.

命题 3.3. 素谱是紧空间, 且其中开集为紧当且仅当是有限个主开集之并, 亦即是有限生成理想的零点集之补.

命题 3.4. 对素谱 的任一不可约闭子集 , 存在唯一一点 使得 是其闭包, 此 称为 一般点. 换言之, 素谱都是朴实空间.

奇妙的是, 拓扑空间能否成为素谱, 刻画并不复杂:

定理 3.5 (Hochster). 拓扑空间 是某个环的素谱, 当且仅当:

朴实空间.

紧空间.

有紧开子集组成的拓扑基, 对有限交封闭.

证明. 证明复杂, 参见条目谱空间.

4相关概念

极大谱

朴实空间

仿射概形

Zariski 景

术语翻译

素谱英文 prime spectrum德文 Primspektrum法文 spectre premier拉丁文 spectrum primum古希腊文 πρῶτον φάσμα

主开集英文 principal open德文 Hauptoffene法文 ouvert principal拉丁文 aperta principalis古希腊文 κύριον ἀνοικτόν