相对概形

在代数几何中, 相对概形是概形态射的同义语, 也是相对观点对概形的特例. 给定概形态射 $f:X\to S$, 我们说 $X$ 是 $S$ 上的相对概形, 或者说 $X$ 是 $\mathbf{S}$-概形, 这里态射 $f$ 的信息隐含于该术语中. 例如:

•	常取 $S=\mathrm{Spec}k$ 为域 $k$ 的素谱, 此时 $S$-概形直接称为 $\mathbf{k}$-概形. 例如, 代数簇就是 $k$-概形的例子.

一种常见的观点是将 $S$-概形视为一族由 $S$ 参数化的概形. 也就是说, 给定 $S$-概形 $X$, 对每个 $s\in S$ 都有纤维 $X_s=X{\times }_S\{s\}$, 我们将 $X$ 视为所有 $X_s$ 构成的一族概形. 在这种观点下, 很多概形态射的性质也可理解为关于这些 $X_s$ 的性质. 例如, 态射 $X\to S$ 是仿射态射, 大致指的是每个 $X_s$ 都是仿射概形; 它是紧合态射, 大致指的是每个 $X_s$ 都看起来像紧空间.

1定义

定义 1.1 (相对概形). 设 $S$ 为概形. 则 $S$ 上的相对概形, 或称为 $\mathbf{S}$-概形, 是指概形态射 $f:X\to S$. 此时, 也常常直接称 $X$ 为 $S$-概形.

$S$-概形 $X,Y$ 之间的态射是指概形态射 $X\to Y$, 满足交换图表$$XYS\text{ .}$$我们注意到, $S$-概形的范畴就是俯范畴 ${\mathsf{Sch}}_{/S}$, 其中 $\mathsf{Sch}$ 是概形的范畴.

另外, 也使用以下术语.

•	当 $S=\mathrm{Spec}R$ 为仿射概形时, $S$-概形也直接称为 $\mathbf{R}$-概形.

•	$S$-概形态射 $X\to Y$ 也称为 $Y$ 中的 $\mathbf{X}$-点. 当 $X=\mathrm{Spec}R$ 为仿射概形时, 这也直接称为 $\mathbf{R}$-点. 特别地, 对 $S$-概形 $X$, 态射 $X\to S$ 的截面就是 $X$ 中的 $S$-点.

2相关概念

术语翻译

相对概形 • 英文 relative scheme • 法文 schéma relatif (m)

$S$-概形 • 英文 $S$-scheme • 法文 $S$-schéma (m)