纤维

纤维是数学中的广泛概念. 对空间 $X,Y$ 及映射 $f:X\to Y$ 而言, $f$ 在点 $y\in Y$ 处的纤维是指 $X$ 中所有被 $f$ 映到 $y$ 的点构成的子空间, 常记为$$X_y=f^{-1}(y)=\{x\in X\mid f(x)=y\}.$$这样, $X$ 也可视为所有这些纤维 $X_y$ 拼在一起得到的空间. 这里的 “空间” 可以指集合、拓扑空间、流形、概形等等.

1定义

纤维可以在一般的范畴中定义.

定义 1.1 (纤维). 设 $\mathcal{C}$ 是范畴, 具有终对象 $\ast \in \mathcal{C}$, 并具有所有拉回.

对 $\mathcal{C}$ 中态射 $f:X\to Y$ 以及 $y:\ast \to Y$, 定义 $f$ 在 $y$ 处的纤维为 $\mathcal{C}$ 中的拉回$$X_y=X\underset{f,Y,y}{\times }\ast .$$

在上述定义中, 如果终对象 $\ast \in \mathcal{C}$ 也是零对象, 则态射 $y$ 由 $Y$ 唯一确定, 此时的纤维常称为核.

2例子

•	集合间映射的纤维也就是一个元素的原像.

3相关概念

•	余纤维
•	同伦纤维、同伦余纤维

术语翻译

纤维 • 英文 fibre • 美式英文 fiber • 德文 Faser (f) • 法文 fibre (f) • 日文 ファイバー