仰范畴

仰范畴 (也称为余切片范畴) 是范畴中从某个对象出发的所有态射构成的范畴. 范畴 $\mathcal{C}$ 于对象 $x$ 下的仰范畴通常记为 ${\mathcal{C}}_{x/}$ 或 ${}^{x/}\mathcal{C}$.

与仰范畴对偶的概念是俯范畴.

1定义

定义 1.1 (仰范畴). 设 $\mathcal{C}$ 是范畴, $x\in \mathcal{C}$ 是对象. 则 $\mathcal{C}$ 于 $x$ 下的仰范畴 ${\mathcal{C}}_{x/}$ 定义如下:

•	其对象为 $\mathcal{C}$ 中态射 $x\stackrel{f}{\to }y$.
•	从 $x\stackrel{f}{\to }y$ 到 $x\stackrel{f^{\prime }}{\to }{y}^{\prime }$ 的态射为 $y\stackrel{g}{\to }{y}^{\prime }$, 使得 $g\circ f=f^{\prime }$: $$xy{y}^{\prime }\text{ .}f{f}^{\prime }g$$

注 1.2. 仰范畴是逗号范畴的特例.

2例子

•	若 $\varnothing \in \mathcal{C}$ 为始对象, 则有范畴等价 ${\mathcal{C}}_{\varnothing /}\simeq \mathcal{C}$.

•	若 $\ast \in \mathcal{C}$ 为终对象, 则 ${\mathcal{C}}_{\ast /}$ 称为 $\mathcal{C}$ 的带点对象的范畴.

•	在交换环范畴 $\mathsf{CRing}$ 中, 仰范畴 ${\mathsf{CRing}}_{A/}$ 等价于交换 $A$-代数的范畴 $A\text{-}\mathsf{CAlg}$.

•	在域范畴 $\mathsf{Field}$ 中, 仰范畴 ${\mathsf{Field}}_{k/}$ 就是 $k$ 的所有域扩张的范畴. 特别地, ${\mathsf{Field}}_{\mathbb{Q}/}$ 是所有特征 $0$ 域的范畴; ${\mathsf{Field}}_{{\mathbb{F}}_p/}$ 是所有特征 $p$ 域的范畴, 其中 $p$ 是素数.

3性质

见俯范畴.

4相关概念

术语翻译

仰范畴 • 英文 under category