域扩张

域扩张指域的包含关系, 是域论的研究对象之一. 域扩张常常通过从一个域出发, 构造一个包含它的更大的域而得到.

1定义

定义 1.1 (域扩张、次数). 设 $K$ 是域, $k\subseteq K$ 是其子域, 则称 $K$ 是 $k$ 的域扩张 (或扩张), 记作 $K/k$. $K$ 自然地是 $k$-线性空间, 其维数称为 $K/k$ 的次数, 记作 $[K:k]$.

注 1.2. 如果 $f:k\to K$ 是域之间的环同态, 那么这个同态一定是单射, 从而 $K/k$ 是域扩张, 这是因为域只有平凡的理想.

定义 1.3 (子扩张、合成). 对域 $k\subseteq F\subseteq K$, 也称 $F/k$ 为 $K/k$ 的子扩张. 对 $K/k$ 的两个子扩张 $E/k$, $F/k$ 它们的合成 $EF$ 指的是 $K$ 中包含 $E$ 与 $F$ 的最小的域.

2性质

域扩张有些简单性质.

命题 2.1. 对域扩张 $L/K/k$, $[L:K][K:k]=[L:k]$.

证明. 设 $\{x_i{\}}_{i\in I}$ 为 $K$ 在 $k$ 上的一组基, $\{y_j{\}}_{j\in J}$ 为 $L$ 在 $K$ 上的一组基, 则不难发现 $\{x_i{y}_j{\}}_{i\in I,j\in J}$ 为 $L$ 在 $k$ 上的一组基.

$\square$

它还有些较深刻的理论, 参见以下主条目.

•	Galois 理论
•	类域论

3相关概念

•	代数扩张
•	超越扩张
•	可分扩张
•	正规扩张
•	非分歧扩张

术语翻译

域扩张 • 英文 field extension • 德文 Körpererweiterung (f) • 法文 extension de corps (f) • 拉丁文 extensio corporum (f) • 古希腊文 ἐπέκατσις σωμάτων (f)

扩张 • 英文 extension • 德文 Erweiterung (f) • 法文 extension (f) • 拉丁文 extensio(f) • 古希腊文 ἐπέκτασις (f)