类域论

类域论代数数论中一论题. 在现代意义下, 它的研究对象为局部域整体域绝对 Galois 群Abel 化.

1历史

2主定理

局部类域论

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定理 2.1 (互反映射). 给定局部域 , 对其所有有限 Galois 扩张 , 存在相容的同构, 称为互反映射: 其中 范数映射. 相容性指对域扩张 , 如下的图表交换: 其中两个横箭头为互反映射, 竖箭头为投影.

定理 2.2 (存在性定理). 中形如 的子群正是 的有限指数开子群.

注 2.3. 是特征为 0 的局部域, 则 是开集, 因此有限指数子群为开子群. 对正特征的局部域则并非如此. 有限指数开子群在 处适合邻域基的条件, 由此得到的拓扑称为范数拓扑, 其严格粗糙于 在赋值下的拓扑.

以上二定理立即推出下面的定理, 它给出了 Galois 群Abel 化的信息:

定理 2.4. 给定局部域 , 存在同构 (也称为互反映射) : 前者表示 在范数拓扑下的完备化.

整体类域论

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定理 2.5 (互反映射). 给定整体域 , 对其所有有限 Galois 扩张 , 存在相容的同构, 称为互反映射: 其中 范数映射, 代表理元类群. 相容性指对域扩张 , 如下的图表交换: 其中两个横箭头为互反映射, 竖箭头为投影.

定理 2.6 (存在性定理). 中形如 的子群正是 的有限指数开子群.

注 2.7. 即使对数域 , 也存在有限指数的子群不是开子群.

以上二定理立即推出下面的定理, 它给出 Galois 群Abel 化的信息:

定理 2.8. 给定整体域 , 存在同构 (也称为互反映射) : 前者表示 在范数拓扑下的完备化.

3应用

类群

Kronecker–Weber 定理

Kronecker 青春之梦

4相关理论

Langlands 纲领

Lubin–Tate 理论

Iwasawa 理论

高维类域论

几何类域论

术语翻译

类域论英文 class field theory德文 Klassenkörpertheorie法文 théorie des corps de classes