加元环

整体域 $K$ 的加元环 ${\mathbb{A}}_K$ 其所有完备化的限制乘积.

1动机

在经典代数数论中, 人们把数域嵌入到了它的所有 Archimedes 赋值的直积中. 比如$$\mathbb{Q}(i)\to \mathbb{C}\times \mathbb{C},a+bi\mapsto (a+bi,a-bi).$$这种嵌入把代数整数映到了一个离散余紧的子群, 即一个格. 这种嵌入用来证明 Dirichlet 单位定理, 类数有限等定理.

后来 Claude Chevalley 和 André Weil 将非 Archimedes 赋值也考虑进来, 以使其发挥出更强大的威力.

2定义

定义 2.1. 假设 $K$ 是整体域, 令 $|K|$ 表示 $K$ 的所有赋值的等价类. $K_v$ 是 $K$ 对于赋值 $v$ 的完备化, ${\mathcal{O}}_v$ 是 $K_v$ 的整数环 (对非 Archimedes 赋值 $v$). $K$ 的加元环定义为 $K_v$ 相对 ${\mathcal{O}}_v$ 的限制乘积, $${\mathbb{A}}_K={\prod _{v\in |K|}}^{\prime }{K}_v.$$其中元素称为加元, 形如 $(a_v{)}_{v\in |K|}$, 满足对其中的非 Archimedes 赋值 $v$, 除了有限个外, $a_v$ 的绝对值都小于等于 $1$.

定义 2.2 (加元环的拓扑). 每个赋值 $v$ 诱导了 $K_v$ 上的拓扑 $K$ 的加元环 ${\mathbb{A}}_K$ 的拓扑由相应地限制乘积拓扑 (即乘积拓扑在限制乘积上的限制) 给出. 因此, 其中开集形如$$\prod _{v\in |K|-S}{\mathcal{O}}_v\times \prod _{v\in S}{W}_v,$$其中 $W_v$ 为 $K_v$ 的开集, $S$ 为有限集.

3性质

命题 3.1. $K$ 到 ${\mathbb{A}}_K$ 有自然的嵌入 (即单环同态), 由 $a\mapsto (a{)}_{v\in |K|}$ 给出.

证明. $(a{)}_{v\in S}$ 确实在 ${\mathbb{A}}_K$ 中, 这是由于 $K$ 中非零元素只在有限个赋值的等价类中赋值不为 $1$. 此映射显然为单射和环同态.

$\square$

定理 3.2 (强逼近定理). 取任一赋值 $v_0$, 并取赋值的分划 $|K|=S\cup T\cup \{v_0\}$, 其中 $S$ 是有限集. 那么对任意 $a_v\in K_v,{ϵ}_v>0,v\in S$, 存在 $x\in K$ 使得$$\{\begin{array}{ll}|x-a_v{|}_v<{ϵ}_v,& v\in S;\\ |x{|}_v\le 1,& v\in T.\end{array}$$换句话说, $K$ 在 ${\prod }_{v\ne v_0}^{\prime }{K}_v$ 中稠密.

推论 3.3. 有如下同构: $$K\backslash {\mathbb{A}}_K/\prod _{v\in |K{|}_f}{\mathcal{O}}_{K_v}\cong {\mathcal{O}}_K\backslash \prod _{v\in |K{|}_{\infty }}{K}_v.$$特别地, $K$ 在 ${\mathbb{A}}_K$ 中离散且余紧.

4测度与积分

由于 ${\mathbb{A}}_K$ 是局部紧 Abel 群, 在上面有 Haar 测度, 从而可以研究积分理论.

定义 4.1. 定义归一化后的 ${\mathbb{A}}_K$ 上的 Haar 测度如下:

1.	在实赋值处, 取 Lebesgue 测度 $d{x}_v=dx$.
2.	在复赋值处, 取测度 $d{x}_v=|dz\wedge d\overline{z}|=2|dx\wedge dy|$.
3.	在 Archimedes 赋值处, 取 Haar 测度 $d{x}_v$ 使得 $d{x}_v({\mathcal{O}}_{K_v})=1$.

然后取 $d{x}_{{\mathbb{A}}_K}={\prod }_{v\in |K|}d{x}_v$, 简记为 $dx$.

命题 4.2. 注意到 $dx$ 可以作商定义在 ${\mathbb{A}}_K/K$ 上. 我们有$${\int }_{{\mathbb{A}}_K/K}dx=|{\mathfrak{d}}_{K/\mathbb{Q}}{|}^{\frac{1}{2}}.$$其中 ${\mathfrak{d}}_{K/\mathbb{Q}}$ 是 $K/\mathbb{Q}$ 的判别式.

5相关构造

${\mathbb{A}}_K$ 上的一般线性群是代数数论中的重要研究对象. 特别地, ${\mathbb{I}}_K:={\mathrm{GL}}_1({\mathbb{A}}_K)$ 即理元群.

术语翻译

加元环 • 英文 adele ring • 法文 anneau adélique