判别式

判别式是代数和数论中的一种构造, 可以用来判断多项式有无重根, 或在代数数论中, 判断素理想是否分歧.

1多项式的判别式

定义 1.1. 设 $f\in k[X]$, 其中 $k$ 是一个域, $\bar{k}$ 是 $k$ 的代数闭包. 则 $f$ 在 $\bar{k}$ 中有 $n$ 个根 ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$. 定义 $f$ 的判别式为$$\Delta (f)=a_n^{2n-2}\prod _{i<j}({\alpha }_i-{\alpha }_j{)}^2.$$其中 $a_n$ 为 $f$ 的首项系数.

这个定义可以推广到更一般的多项式:

定义 1.2. 设 $f\in A[X]$, 其中 $A$ 是一个交换环. 定义 $f$ 的判别式为$$\Delta (f)=\frac{(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}}{a_n}\mathrm{Res}(f,f^{\prime }).$$其中 $\mathrm{Res}(f,g)$ 代表多项式 $f,g$ 的结式, 而 $a_n$ 为 $f$ 的首项系数 (这里 $\mathrm{Res}(f,f^{\prime })$ 一定能被 $a_n$ 整除).

2代数数论中的判别式

定义 2.1. 设 $L/K$ 是代数数域的扩张. 设 $\Lambda$ 是 $L$ 中的一个 ${\mathcal{O}}_K$-格. 局部化后可得自由 ${\mathcal{O}}_{K,\mathfrak{p}}$-模 ${\Lambda }_{\mathfrak{p}}$. 取一组基 $(x_1,\cdots ,x_n)$ 后, 定义 $\Lambda$ 在 $\mathfrak{p}$ 处的判别式为$${\mathfrak{d}}_{\Lambda ,\mathfrak{p}}:=\det {\left({\mathrm{tr}}_{L/K}(x_i{x}_j)\right)}_{n\times n}.$$由此定义 $\Lambda$ 关于 $L/K$ 的判别式为$${\mathfrak{d}}_{\Lambda }:=\prod _{\mathfrak{p}}{\mathfrak{p}}^{{\mathrm{val}}_{\mathfrak{p}}\left({\mathfrak{d}}_{\Lambda ,\mathfrak{p}}\right)}.$$取特殊情况 $\Lambda ={\mathcal{O}}_L$, 得到定义$${\mathfrak{d}}_{L/K}:={\mathfrak{d}}_{{\mathcal{O}}_L},$$称作 $L/K$ 的判别式.

注意这个定义一定程度地推广了定义 1.1: 如果 ${\mathcal{O}}_L={\mathcal{O}}_K[\alpha ]$, 那么 $d_{L/K}=\Delta (f_{\alpha })$.

3性质

在多项式理论中, 判别式可以用来判断多项式根以及分裂域的性质. 例如:

命题 3.1. 二次多项式 $x^2-bx+c$ 的判别式为 $\Delta =b^2-4c$, 如取 $k=\mathbb{Q}$,

•	$\Delta =0$ 当且仅当它是某个多项式的平方.
•	$\Delta$ 是 $\mathbb{Q}$ 中平方数当且仅当此多项式有两个有理根.
•	$\Delta$ 是非负数当且仅当此多项式有两个有理根.

命题 3.2. 三次有理系数多项式的判别式是 $\mathbb{Q}$ 中平方数, 当且仅当此多项式在 $\mathbb{Q}$ 上分裂域扩张次数为 $1$ 或 $3$.

判别式可以用来判断分歧性, 即有

定理 3.3 (Dedekind). 设 $\mathfrak{p}$ 是 ${\mathcal{O}}_K$ 中的素理想. 那么$$\mathfrak{p}\text{ 在 }L/K\text{ 中分歧}⟺\mathfrak{p}\mid {\mathfrak{d}}_{L/K}.$$

术语翻译

判别式 • 英文 discriminant • 德文 Diskriminante (f) • 法文 discriminant (m)