多项式

多项式为若干项之和, 每项为一个数 (称为系数) 和若干字母 (称为变元) 之积. 例如,$$2x^3-x+7$$是关于变元 $x$ 的多项式, 而$$x^5-2y^7+x^2{z}^8-3xyz+1$$是关于三个变元 $x$、$y$、$z$ 的多项式.

1定义

多项式

定义 1.1 (多项式). 设 $A$ 是环.

•	$A$ 上关于变元 $x$ 的多项式是形如$$f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$$的表达式, 其中 $a_i\in A$ $(i=0,1,\dots ,n)$. 式中, 每个 $a_i{x}^i$ 称为多项式 $f$ 的项, 其中 $a_i$ 称为该项的系数. 若两个多项式只相差系数为 $0$ 的项, 即形如 $0x^i$ 的项, 则将这两个多项式视为相同的. 若 $f$ 不是零多项式, 即所有 $a_i$ 中存在非零者, 则可不妨设 $a_n\ne 0$, 此时称 $n$ 为 $f$ 的次数, 记为 $\mathrm{deg}f$. 另外, 我们约定零多项式 $f(x)\equiv 0$ 的次数是 $-\infty$.
•	$A$ 上关于 $n$ 个变元 $x_1,\dots ,x_n$ 的多项式是形如$$f(x_1,\dots ,x_n)=\sum _{i_1,\dots ,i_n\ge 0}{a}_{i_1,\dots ,i_n}{x}_1^{i_1}\cdots x_n^{i_n}$$的表达式, 其中 $i_1,\dots ,i_n$ 取遍所有非负整数, $a_{i_1,\dots ,i_n}\in A$, 并且这些 $A$ 的元素中, 只有有限个非零. 式中, 每个 $a_{i_1,\dots ,i_n}{x}_1^{i_1}\cdots x_n^{i_n}$ 称为多项式 $f$ 的项, 其中 $a_{i_1,\dots ,i_n}$ 称为该项的系数. 若两个多项式只相差系数为 $0$ 的项, 即形如 $0x_1^{i_1}\cdots x_n^{i_n}$ 的项, 则将这两个多项式视为相同的.

固定系数环 $A$ 和变元 $x_1,\cdots ,x_n$ 后, 多项式之间可以相加或相乘, 这样全体多项式构成一个环, 称为多项式环, 记为 $A[x_1,\cdots ,x_n]$.

定义 1.2 (加法、乘法). (...)

注 1.3. 由上述定义, 我们有环同构$$A[x_1,x_2,\dots ,x_n]\simeq A[x_1][x_2]\cdots [x_n].$$这说明多项式的变元可以逐个引入.

多项式函数

(…)

2性质

(…)

3相关概念

•	多项式环
•	代数方程

术语翻译

多项式 • 英文 polynomial • 德文 Polynom (n) • 法文 polynôme (m) • 拉丁文 polynomium (n) • 古希腊文 πολυώνυμον (n)