交换环

交换环是一种代数结构, 指乘法满足交换律的环. 例如, 整数环 $\mathbb{Z}$ 是交换环.

在代数–几何对偶下, 交换环对应于概形, 也可以对应其它种类的空间. 在这一观点下, 研究交换环的代数性质就等同于研究空间的几何性质.

研究交换环的学科称为交换代数.

1定义

定义 1.1 (交换环). 交换环是指乘法满足交换律的环.

具体地说, 交换环是三元组 $(A,+,\cdot )$, 其中 $A$ 是集合, $+$ 和 $\cdot$ 是 $A$ 上的二元运算, 满足以下性质:

•	$(A,+)$ 构成 Abel 群, 其单位元记为 $0$. 具体来说, 是指加法满足以下性质: ∘ 加法满足结合律: 对任意 $a,b,c\in A$, 有$$(a+b)+c=a+(b+c).$$ ∘ 加法满足交换律: 对任意 $a,b\in A$, 有$$a+b=b+a.$$ ∘ 加法具有单位元 $0\in A$, 满足单位律: 对任意 $a\in A$, 有$$0+a=a.$$ ∘ 对任意 $a\in V$, 存在元素 $-a\in A$, 使得$$a+(-a)=0.$$

•	$(A,\cdot )$ 构成交换幺半群, 其单位元记为 $1$. 具体来说, 是指乘法满足以下性质: ∘ 乘法满足结合律: 对任意 $a,b,c\in A$, 有$$(ab)c=a(bc).$$ ∘ 乘法满足交换律: 对任意 $a,b\in A$, 有$$ab=ba.$$ ∘ 乘法具有单位元 $1\in A$, 满足单位律: 对任意 $a\in A$, 有$$1a=a.$$

•	乘法对加法满足分配律: 对任意 $a,b,c\in A$, 有$$a(b+c)=ab+ac.$$

所有交换环和它们之间的环同态构成一个范畴, 称为交换环范畴, 通常记为 $\mathsf{CRing}$. 它是仿射概形范畴的反范畴.

2相关概念

•

仿射概形

术语翻译

交换环 • 英文 commutative ring • 德文 kommutativer Ring • 法文 anneau commutatif • 拉丁文 anellus commutativus • 古希腊文 ἀντιμεταθετικὸς δαχτύλιος