准素分解

约定. 在本文中,

• 所有环都指交换环.

准素分解, 又称 Lasker–Noether 准素分解或 Lasker–Noether 定理, 是 20 世纪初的代数学家对理想唯一分解的推广尝试, 指的是 Noether 环的理想都能写成有限多个准素理想的交, 且有较弱的唯一性. 它在现代交换代数中被废弃, 完全由结合素理想的理论所取代.

1定义与定理

定义 1.1 (准素理想). 环 $A$ 的真理想 $P$ 称为准素, 指对任一 $a,b\in A$, 如果 $ab\in P$ 而 $b\notin P$, 则存在 $n\in \mathbb{N}$, $a^n\in P$. 也就是说, 环 $A/P$ 的零因子都是幂零元. 此时 $\mathfrak{p}=\sqrt{P}$ 是素理想, 也称 $P$ 为 $\mathfrak{p}$-准素.

注 1.2. $\sqrt{P}$ 是素理想未必说明 $P$ 是准素理想. 任取域 $k$, 考虑 $A=k[x,y,z]/(xy-z^2)$, $\mathfrak{p}=(x,z)$, 则 $\mathfrak{p}$ 是素理想. ${\mathfrak{p}}^2=(x^2,xz,z^2)\ni xy$, 但 $x\notin {\mathfrak{p}}^2$, 且对任意 $n\in \mathbb{N}$, $y^n\notin {\mathfrak{p}}^2$.

定理 1.3 (理想准素分解). 对 Noether 环 $A$ 及其理想 $I$, 存在准素理想 $P_1,\dots ,P_n$ 使得各 $\sqrt{P_i}$ 互异, $$I=\bigcap _{i=1}^n{P}_i,$$且上式无冗余, 即去除任一个 $P_i$ 都使等号变为严格包含. 该分解未必唯一, 但如令 ${\mathfrak{p}}_i=\sqrt{P_i}$, 则子集 $\{{\mathfrak{p}}_1,\dots ,{\mathfrak{p}}_n\}\subseteq \mathrm{Spec}A$ 唯一. 此子集中极小者对应的准素理想也唯一, 由 $P_i=I{A}_{{\mathfrak{p}}_i}\cap A$ 给出.

定义 1.4 (准素模). 环 $A$ 的非零模 $M$ 称为准素, 指对任一 $a\in A$, $m\in M$, 如果 $am=0$ 而 $m\ne 0$, 则存在 $n\in \mathbb{N}$, $a^{n}M=0$. 此时 $\mathfrak{p}=\sqrt{{\mathrm{Ann}}_A(M)}$ 是素理想, 也称 $M$ 为 $\mathfrak{p}$-准素.

定理 1.5 (模准素分解). 对 Noether 环 $A$ 及其有限生成模 $M$, 存在子模 $N_1,\dots ,N_n$ 以及唯一一组相异素理想 ${\mathfrak{p}}_1,\dots ,{\mathfrak{p}}_n$, 使得$$\bigcap _{i=1}^n{N}_i=0,$$上式无冗余, 且 $M/N_i$ 为 ${\mathfrak{p}}_i$-准素. ${\mathfrak{p}}_1,\dots ,{\mathfrak{p}}_n$ 中极小者对应的子模唯一, 由 $N_i=\ker (M\to M_{{\mathfrak{p}}_i})$ 给出.

显然, $A$ 的理想 $P$ 是 $\mathfrak{p}$-准素理想当且仅当 $A/P$ 是 $\mathfrak{p}$-准素模; 如 $I$ 是 Noether 环 $A$ 的理想, 对 $A/I$ 用模准素分解即得 $I$ 的理想准素分解. 在此将两个准素分解定理中的交集等式称为分解式.

2证明

由以上分析, 只需证模准素分解. 以下引理将准素模与结合素理想联系起来:

命题 2.1. Noether 环 $A$ 的有限生成模 $M$ 是准素模, 当且仅当它只有一个结合素理想.

证明. 如 $M$ 准素, 我们来证 $\mathfrak{p}=\sqrt{{\mathrm{Ann}}_A(M)}$ 是其唯一的结合素理想. 设 $\mathrm{Ann}(m)$ 是其一个结合素理想, 其中 $m\in M$ 非零. 则对 $a\in \mathrm{Ann}(m)$, 由准素模的定义, 存在 $n\in \mathbb{N}$ 使得 $a^n\in \mathrm{Ann}(M)$, 即 $a\in \mathfrak{p}$. 于是$$\mathrm{Ann}(M)\subseteq \mathrm{Ann}(m)\subseteq \mathfrak{p}.$$由于素理想开根还是它自己, 将上式开根即得 $\mathrm{Ann}(m)=\mathfrak{p}$.

反过来如 $\mathrm{Ass}(M)=\{\mathfrak{p}\}$, 我们来证 $M$ 为 $\mathfrak{p}$-准素. 为此需对任一非零元 $m\in M$ 证明 $\mathrm{Ann}(m)\subseteq \sqrt{\mathrm{Ann}(M)}$. 首先由结合素理想与支集的关系可知 $\sqrt{\mathrm{Ann}(M)}=\mathfrak{p}$; 然后由结合素理想与零化子的关系即知 $\mathrm{Ann}(m)\subseteq \mathfrak{p}$.

$\square$

推论 2.2. $A$ 是 Noether 环, $\mathfrak{p}$ 是其素理想. $M$ 是 $A$-模, $N,N^{\prime }$ 为其两个子模. 如 $M/N$ 和 $M/N^{\prime }$ 都是 $\mathfrak{p}$-准素, 则 $\frac{M}{N\cap N^{\prime }}$ 也是.

证明. 这是因为 $\frac{M}{N\cap N^{\prime }}\hookrightarrow M/N\oplus M/N^{\prime }$, 于是 $\mathrm{Ass}(\frac{M}{N\cap N^{\prime }})\subseteq \mathrm{Ass}(M/N)\cup \mathrm{Ass}(M/N^{\prime })=\{\mathfrak{p}\}$.

$\square$

引理 2.3. 如 $M$ 为 $\mathfrak{p}$-准素, 则 $M\to M_{\mathfrak{p}}$ 为单射.

证明. 由局部化的定义, 如非零元 $m\in M$ 在 $M_{\mathfrak{p}}$ 的像为 $0$, 则存在 $s\in A\setminus \mathfrak{p}$ 使得 $sm=0$. 这样由于准素, 存在 $n\in \mathbb{N}$, $s^{n}M=0$, 但这与 $\mathfrak{p}=\sqrt{\mathrm{Ann}(M)}$ 矛盾.

$\square$

还需要一些关于分解的一般事实. 在此称 $M$ 的真子模 $N$ 不可分解, 指不存在 $N^{\prime },N^{\prime \prime }$ 真包含 $N$, 使得 $N=N^{\prime }\cap N^{\prime \prime }$.

引理 2.4. Noether 模的每个子模都能写成不可分解子模的有限交. 特别地, $0$ 是不可分解子模的有限交.

证明. 反证法. 如其不然, 用 Noether 取出极大反例 $N\subseteq M$. 则首先 $N\ne M$, 因为 $M$ 是空交, 当然是有限交. 其次 $N$ 可分解, 否则就是自己一个模的交. 于是 $N=N^{\prime }\cap N^{\prime \prime }$, $N^{\prime },N^{\prime \prime }$ 都严格包含 $N$. 但由 $N$ 是极大反例, $N^{\prime }$ 和 $N^{\prime \prime }$ 都是不可分解子模的有限交, 于是 $N$ 也是, 矛盾.

$\square$

引理 2.5. 如 $M$ 的子模 $N$ 不可分解, 则 $M/N$ 准素.

证明. $M$ 的子模 $N$ 不可分解相当于说 $M/N$ 的子模 $0$ 不可分解. 于是可不妨设 $N=0$. 反证法, 如 $M$ 有两个结合素理想 $\mathfrak{p},\mathfrak{q}$, 取出 $m,n\in M$ 使得 $\mathrm{Ann}(m)=\mathfrak{p}$, $\mathrm{Ann}(n)=\mathfrak{q}$, 则$$\mathrm{Ass}(Am\cap An)\subseteq \mathrm{Ass}(Am)\cap \mathrm{Ass}(An)=\{\mathfrak{p}\}\cap \{\mathfrak{q}\}=\varnothing ,$$故 $Am\cap An=0$, 矛盾.

$\square$

万事俱备, 现在来证明定理. 首先由结合素理想的理论, 对 Noether 环 $A$ 及其有限生成模 $M$, ${\mathrm{Ass}}_A(M)$ 有限.

定理 2.6. 定理 1.5 成立, 且 $\{{\mathfrak{p}}_1,\dots ,{\mathfrak{p}}_n\}={\mathrm{Ass}}_A(M)$.

证明. 由引理 2.4, 可将 $0$ 写成不可分解子模的有限交, 设 $0={\bigcap }_{i=1}^n{N}_i$, $N_i$ 不可分解. 由引理 2.5, 各 $M/N_i$ 都是准素模, 设其为 ${\mathfrak{p}}_i$ 准素. 由推论 2.2, 可设各 ${\mathfrak{p}}_i$ 互异. 最后再去掉其中冗余者, 可设分解式无冗余. 现在只剩唯一性以及极小素理想对应模的刻画.

由 ${\bigcap }_{i=1}^n{N}_i=0$, 有$$M\hookrightarrow \underset{i=1}{\overset{n}{⨁}}M/N_i,$$于是 $\mathrm{Ass}(M)\subseteq {\bigcup }_{i=1}^n\mathrm{Ass}(M/N_i)=\{{\mathfrak{p}}_1,\dots ,{\mathfrak{p}}_n\}$. 反过来, 对任一 $i$, 记 $N_i^{\prime }={\bigcap }_{j\ne i}{N}_j$, 则 $N_i^{\prime }\cap N_i=0$, 故 $N_i^{\prime }\hookrightarrow M/N_i$; 由 $\mathrm{Ass}(M/N_i)=\{{\mathfrak{p}}_i\}$ 知 $\mathrm{Ass}(N_i^{\prime })=\{{\mathfrak{p}}_i\}$; 又由 $N_i^{\prime }\subseteq M$ 知 ${\mathfrak{p}}_i\in \mathrm{Ass}(M)$. 所以 $\{{\mathfrak{p}}_1,\dots ,{\mathfrak{p}}_n\}={\mathrm{Ass}}_A(M)$. 现如 ${\mathfrak{p}}_i$ 极小, 则对所有 $j\ne i$, $${\mathrm{Ass}}_{A_{{\mathfrak{p}}_i}}((M/N_j{)}_{{\mathfrak{p}}_{\mathfrak{i}}})=\{{\mathfrak{p}}_j\}\cap \mathrm{Spec}{A}_{{\mathfrak{p}}_i}=\varnothing ,$$从而 $(M/N_j{)}_{{\mathfrak{p}}_i}=0$, $(N_j{)}_{{\mathfrak{p}}_i}=M_{{\mathfrak{p}}_i}$; 将分解式对 ${\mathfrak{p}}_i$ 局部化, 即知 $(N_i{)}_{{\mathfrak{p}}_i}=0$, 于是 $N_i\subseteq \ker (M\to M_{{\mathfrak{p}}_i})$; 对 $M/N_i$ 用引理 2.3, 知 $N_i=\ker (M\to M_{{\mathfrak{p}}_i})$.

$\square$

3相关概念

术语翻译

准素分解 • 英文 primary decomposition • 德文 primäre Zerlegung • 法文 décomposition primaire

准素理想 • 英文 primary ideal • 德文 primäres Ideal • 法文 idéal primaire