平展同态

约定. 在本文中,

• 所有环都指交换环.

平展同态是一类环同态, 推广了域的有限可分扩张. 在代数–几何对偶下, 它模拟了拓扑中的局部同胚.

1定义

定义 1.1. 称环同态 $R\to A$ 为平展同态, 指其有限表现、平坦, 且微分模 ${\Omega }_{A/R}=0$. 此时也称 $A$ 为平展 $R$-代数.

2性质

命题 2.1. 平展同态的复合、基变换仍是平展同态.

证明. 有限表现、平坦、微分模三者都能基变换. 有限表现、平坦两者皆对复合封闭, 而关于微分模, 对环同态 $R\to A\to B$ 有右半正合列$${\Omega }_{A/R}{\otimes }_{A}B\to {\Omega }_{B/R}\to {\Omega }_{B/A}\to 0$$所以 ${\Omega }_{A/R}={\Omega }_{B/A}=0$ 推出 ${\Omega }_{B/R}=0$.

$\square$

依定义, 平展等价于非分歧且光滑.

命题 2.2. 如 $R\to A$ 为平展同态, $R$ 为

•	$({\text{R}}_k)$;
•	$({\text{S}}_k)$;
•	既约;
•	正规;

则 $A$ 亦然.

证明. 这是光滑同态的性质.

$\square$

命题 2.3. 如 $R\to A$ 非分歧, $R\to B$ 平展, 则任何 $R$-同态 $A\to B$ 都平展. 特别地, $R$ 上平展代数之间映射都平展.

证明. 对反范畴用对角态射中的论证即可.

$\square$

命题 2.4 (过渡到极限). 设 $\{R_i\to A_i{\}}_{i\in I}$ 是有限表现同态的滤相系, 满足对 $i<j$, $A_j=A_i{\otimes }_{R_i}{R}_j$. 记 $R={\mathrm{colim}}_i{R}_i$, $A={\mathrm{colim}}_i{A}_i$.

•	如每个 $R_i\to A_i$ 平展, 则 $R\to A$ 平展.
•	如 $R\to A$ 平展, 则存在 $i\in I$ 使得 $R_i\to A_i$ 平展.

证明. 这是因为非分歧和平坦都能过渡到极限.

$\square$

可用 Zariski 主定理给出平展代数的局部结构.

定理 2.5 (局部结构定理). $R\to A$ 是平展同态. 则对任意 $\mathfrak{q}\in \mathrm{Spec}A$, 存在 $a\notin \mathfrak{q}$ 使得 $A_a$ 可以写成 $(R[x]/f{)}_g$, 其中 $f,g\in R[x]$ 满足 $f$ 首一, $f^{\prime }\mid g$.

注 2.6. 由 $f$ 首一, $R[x]/f$ 作为 $R$-模自由, 于是平坦; 局部化也平坦, 所以 $R\to (R[x]/f{)}_g$ 平坦. 由微分模的表现有$${\Omega }_{(R[x]/f{)}_g/R}=({\Omega }_{(R[x]/f)/R}{)}_g=(R[x]/(f,f^{\prime }){)}_g\mathrm{d}x=0.$$所以定理所述 $(R[x]/f{)}_g$ 一定是平展 $R$-代数. 常称其为标准平展.

证明.

证明. 由过渡到极限, 可设 $R$ 和 $A$ 为 $\mathbb{Z}$ 上有限型, 特别地 Noether. 记 $\mathfrak{p}=\mathfrak{q}\cap R$, $k=k(\mathfrak{p})$. 平展同态为拟有限, 故由 Zariski 主定理, $A$ 有有限 $R$-子代数 $B$, 满足 $B\to A$ 在谱上为开浸入. 于是存在 $b\in B$, 使得 $b\notin \mathfrak{q}$ 且 $B_b=A_b$. 把 $A$ 换成 $A_b$, 可设 $B_b=A$. 现在 $B{\otimes }_{R}k$ 为有限 $k$-代数, 局部化 $b$ 之后为平展, 为有限可分扩张的乘积, 且 $k(\mathfrak{q})$ 是其一个乘积分量. 用本原元定理取元素 $\bar{u}\in B{\otimes }_{R}k$, 在 $k(\mathfrak{q})$ 分量上是其本原元, 在其它分量上是 $0$. 乘以 $R\setminus \mathfrak{p}$ 中元素, 可设 $\bar{u}$ 来自 $u\in B$. 于是 $R[u]$ 是有限 $R$-代数, 满足 $R[u]{\otimes }_{R}k=k[\bar{u}]=k(\mathfrak{q})$.

设 $\bar{f}$ 是 $\bar{u}$ 在 $k$ 上极小多项式, 次数为 $n=[k(\mathfrak{q}):k]$. 由于 $1,\bar{u},\dots ,{\bar{u}}^{n-1}$ 是 $k(\mathfrak{q})$ 作为 $k$-线性空间的生成元, 由 Nakayama 引理, $1,u,\dots ,u^{n-1}$ 是 $R_{\mathfrak{p}}[u]$ 作为 $R_{\mathfrak{p}}$-模的生成元. 于是可设 $r\notin \mathfrak{p}$ 满足 $1,u\dots ,u^{n-1}$ 是 $R_r[u]$ 作为 $R_r$-模的生成元. 这样就存在 $n$ 次首一多项式 $f\in R_r[x]$ 满足 $f(a)=0$, 且 $f$ 在 $k[x]$ 的像就是 $\bar{f}$. 把 $u$ 换成 $r^{-N}u$, $N$ 充分大, 可设 $f\in R[x]$, 且在 $R[u]$ 中有 $f(u)=0$. 由于 $k(\mathfrak{q})/k$ 可分, ${\bar{f}}^{\prime }(\bar{u})\ne 0$, 将 $A$ 对 $f^{\prime }(u)$ 局部化, 可设 $f^{\prime }(u)\in A^{\times }$.

记 ${\mathfrak{q}}^{\prime }=\mathfrak{q}\cap R[u]$. 考虑含入映射 $R[u]\to B$ 在 ${\mathfrak{q}}^{\prime }$ 的局部化. 它有限, 因为 $R\to B$ 有限; 它是单射, 因为局部化保持单射; 它是满射, 因为依定义 $u\notin {\mathfrak{q}}^{\prime }$, 故 $B_{{\mathfrak{q}}^{\prime }}/{\mathfrak{q}}^{\prime }{B}_{{\mathfrak{q}}^{\prime }}$ 被 $(B_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}{B}_{\mathfrak{p}}{)}_u=k(\mathfrak{q})$ 打满, 从而 $k({\mathfrak{q}}^{\prime })=k(\mathfrak{q})=B_{{\mathfrak{q}}^{\prime }}/{\mathfrak{q}}^{\prime }{B}_{{\mathfrak{q}}^{\prime }}$, 于是由 Nakayama 引理知满. 这样就知道 $R[u]\to B$ 在 ${\mathfrak{q}}^{\prime }$ 的局部化是同构. 由这些代数都是 Noether 环上有限, 可取 $v\notin {\mathfrak{q}}^{\prime }$ 使得 $R[u{]}_v=B_v$. 再局部化 $A$, 可设存在 $w\in R[u]\setminus {\mathfrak{q}}^{\prime }$ 使得 $A=R[u{]}_w$. 换言之, 可设 $B=R[u]$. 回忆 $A=B_b$. 取 $b$ 沿 $R[x]/f\twoheadrightarrow R[u]=B$ 的原像 $g$. 由于 $f^{\prime }(u)\in A^{\times }$, 可设 $f^{\prime }\mid g$.

考虑自然同态 $(R[x]/f{)}_g\twoheadrightarrow R[u{]}_b=B_b=A$. 它是平展 $R$-代数的同态, 故为平展, 特别地, 有限表现平坦. 但它又是满射, 所以 $A$ 是 $(R[x]/f{)}_g$ 的直积分量, 特别地是其局部化. 扩大 $g$ 便可做到 $A=(R[x]/f{)}_g$.

$\square$

以下是 Grothendieck 对平展的刻画. 此类命题显示了幂零理想在交换代数和代数几何中不可或缺. 事实上, 幂零理想是 “形变” 的代数对应物.

定理 2.7. 平展等价于有限表现且形式平展. 详细地说, 环同态 $R\to A$ 平展, 当且仅当其有限表现, 且对任意环 $S$ 及其理想 $I$ 满足 $I^2=0$ 以及图表$$RSAS/I$$使其交换的虚线箭头存在唯一.

证明. 由于平展等价于非分歧且光滑, 形式平展等价于形式非分歧且形式光滑, 这是非分歧和光滑处对应定理的直接推论.

$\square$

推论 2.8. 如 $R\to A$ 平展, 则对 $R$ 代数 $P$ 以及满射 $P\to A$, 核为 $J$, 有自然映射 $J/J^2\to {\Omega }_{P/R}{\otimes }_{P}A$, $j\mapsto \mathrm{d}j\otimes 1$ 为同构.

证明. 这是形式平展的性质.

$\square$

下面的命题常称为 Jacobi 判别法. 这里比光滑情形强, 可以不局部化 $A$.

命题 2.9. $R\to A$ 平展当且仅当 $A$ 能写成 $R[x_1,\dots ,x_n]/(f_1,\dots ,f_n)$ 的形式, 其中 Jacobi 行列式 $\det \left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right)$ 在 $A$ 中可逆.

证明. 由光滑的 Jacobi 判别法以及微分模的表现, 易知这种形式的 $R$-代数平展. 反过来如 $R\to A$ 平展, 首先取表现 $A=P/J$, 其中 $P$ 为 $R$ 上有限个变元的多项式环, $J$ 为有限生成. 于是 $J/J^2\cong {\Omega }_{P/R}{\otimes }_{P}A$ 为自由. 取 $j_1,\dots ,j_m\in J$ 使其像是一组自由生成元. 对模 $M=\mathrm{coker}((j_1,\dots ,j_m)\to J)$ 和理想 $J$ 用 Nakayama 引理, 知存在 $g\in 1+J$ 使得 $M_g=0$, 即局部化 $g$ 之后 $(j_1,\dots ,j_m)$ 满射 $J$. 这样便有$$A=P/J=P_g/J_g=P_g/(j_1,\dots ,j_m)=P[y]/(gy-1,j_1,\dots ,j_m).$$记 $K=(gy-1,j_1,\dots ,j_m)$, 不难发现 $gy-1,j_1,\dots ,j_m$ 是 $A$-模 $K/K^2\cong {\Omega }_{P[y]/R}{\otimes }_{P[y]}A$ 的自由生成元. 重写 $P[y]$ 为 $R[x_1,\dots ,x_n]$, $gy-1,j_1,\dots ,j_m$ 为 $f_1,\dots ,f_n$, 则由 $\mathrm{d}{f}_1,\dots ,\mathrm{d}{f}_n$ 的像自由生成 ${\Omega }_{R[x_1,\dots ,x_n]/R}{\otimes }_{R[x_1,\dots ,x_n]}A$ 便知 Jacobi 行列式在 $A$ 中可逆.

$\square$

3例子

•	局部化一个元素是标准平展同态, 因为 $R_r=R[x]/(rx-1)$, $(rx-1{)}^{\prime }=r\in (R_r{)}^{\times }$.
•	设自然数 $n$ 在环 $R$ 中可逆, $r\in R^{\times }$. 则 $R\to R[r^{1/n}]=R[x]/(x^n-r)$ 标准平展, 因为 $(x^n-r{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}\in (R[x]/(x^n-r){)}^{\times }$.
•	${\mathbb{F}}_2\to {\mathbb{F}}_4^3$ 平展, 但不标准平展.

下例把多项式因式分解与平展同态相联系, 将在 Hensel 环和 Hensel 对的研究中发挥作用. (也可放到 Hensel 相关页面.)

例 3.1. 固定 $m,n\in \mathbb{N}$. 考虑多项式环 $\mathbb{Z}[b_1,\dots ,b_n,c_1,\dots ,c_m]$ 上的一元多项式$$(x^n+b_1{x}^{n-1}+\cdots +b_n)(x^m+c_1{x}^{m-1}+\cdots +c_m).$$将其各项系数从高到低分别记作 $A_1,\dots ,A_{n+m}\in \mathbb{Z}[b_1,\dots ,b_n,c_1,\dots ,c_m]$, 则它们给出 $n+m$ 元多项式环的同态 $\mathbb{Z}[a_1,\dots ,a_{n+m}]\to \mathbb{Z}[b_1,\dots ,b_n,c_1,\dots ,c_m]$. 不难发现它是有限平坦同态 (再做一步扩张取出根来, 知整; 然后由有限生成知有限; 最后由奇迹平坦知平坦; 不过这在此例中并不重要). 将其记为 $R\to S$, 则有表现$$S=\frac{R[b_1,\dots ,b_n,c_1,\dots ,c_m]}{(A_1-a_1,\dots ,A_{n+m}-a_{n+m})}.$$其 Jacobi 行列式依定义就是两个多项式$$x^n+b_1{x}^{n-1}+\cdots +b_n,x^m+c_1{x}^{m-1}+\cdots +c_m$$的结式, 在此记作 $\Delta$. 于是由 Jacobi 判别法, $R\to S_{\Delta }$ 就是平展同态.

推论 3.2. 设 $R$ 是环, $\mathfrak{p}$ 是其素理想, 剩余域为 $k$. 设 $f\in R[x]$ 首一, 且其像 $\bar{f}\in k[x]$ 有分解 $\bar{f}=g_0{h}_0$, 其中 $g_0,h_0$ 首一、互素, 次数分别为 $n,m$. 则存在平展同态 $R\to S$ 以及 $\mathfrak{p}$ 上的素理想 $\mathfrak{q}$, 满足 $k(\mathfrak{q})=k$, 且在 $S[x]$ 中, 分解式 $\bar{f}=g_0{h}_0$ 有提升 $f=gh$, 满足 $(g,h)=S[x]$.

4推广

(弱平展. 导出情形. 解析几何情形.)

5相关概念

•	平展态射
•	形式平展
•	余切复形

术语翻译

平展同态 • 英文 étale homomorphism • 德文 étaler Homomorphismus • 法文 homomorphisme étale