整同态

约定. 在本文中,

交换代数中, 整同态是一类环同态, 推广了域的代数扩张概念.

1定义

定义 1.1. 是环同态. 称元素 上整元, 意思是存在 , 使得这里 自然地视为 -代数, 即 中元素乘以 中元素意为映射到 之后相乘. 称 整同态, 意思是 中每个元素都在 上整. 此时也称 上整. 下面将会看到, 中在 上的整元构成 的子环, 称为 整闭包正规化. 如该子环就是 本身, 则称 中整闭.

单的整同态称为整扩张.

定义 1.2.整环 整闭, 指的是 在其分式域中整闭. 其整闭包指的是它在分式域中的整闭包. 称一般的环 正规, 指的是其在每个素理想处的局部化是整闭整环. 其正规化指的是它在它的既约化完全分式环中的整闭包.

2性质

命题 2.1. 是环同态, . 如 上整, 则 上整. 从而如 是整同态, 则 亦然.

证明. 显然.

命题 2.2. 是扩张. 对 , 以下几条等价:

1.

上整.

2.

有限.

3.

存在 -子代数 , 包含 且在 有限.

4.

存在 -子模 , 在 上有限生成, 满足 , 且 作为 -模零化子为 .

证明. 1 推 2 是因为如 上整, 如定义中写出 满足的方程, 则 生成 .

2 推 3 推 4 为显然.

4 推 1 要用 Nakayama 引理. 在引理中将环取为 , 模取为 , 理想取为 , 模同态取为 “乘以 ”, 得存在 使得 到自身的零同态. 于是由条件得

这里的条件 4 在比如 或者 中含有 非零因子时满足.

推论 2.3. 是环同态, 则 中在 上整的元素构成子环. 从而如果 能由在 上整的元素生成, 则 本身就在 上整.

证明. 上整, 要证明其和、差、积亦整. 由以上命题以及有限同态的传递性, 上有限. 再由以上命题即知 的和、差、积都在 上整.

命题 2.4. 是整闭整环, 是其分式域. 的一个有限域扩张, . 的一个极小多项式. 则 上整当且仅当 .

证明., 则 显然在 上整. 若 上整, 设 的一个零化多项式. 记 分裂域. 由于 , 故存在 , 使得由于 , 故 上整. 利用推论 2.3, 的系数均在 上整. 又由于 , 且 是整闭的, 故 .

推论 2.5 (在基变换下保持). 是整同态, 是环同态, 令 . 则 是整同态.

证明. 这是因为 上生成, 而 中元素都在 上整, 因为在 上整.

以下性质常称为素理想 “上行”.

命题 2.6. 是整同态, 的素理想, 的素理想, 满足 . 则 有素理想 , 使得 . 素谱映射 是闭映射.

证明. 换成 , 换成 , 可设 是零理想. 对 局部化可设 是局部环. 如果 , 则存在元素 使得 . 令 , 则 上有限, 且 . 这与 Nakayama 引理矛盾! 故 . 取极大理想 , 则 , 而 极大, 故 .

是闭映射就是证明每个闭集 的像集都闭. 由于满射是整同态, 故复合映射 也是整同态. 以 , 只需证整同态在谱上的像集闭. 任取 在像集之外. 则由上一段所证, 包含于 的素理想即 都在像集之外, 于是 . 而 , 故存在 使得 , 即开集 都在像集之外. 像集外每个点都有开邻域在像集外, 故像集闭.

注 2.7. 反过来, 仿射的泛闭态射一定整, 参见条目泛闭态射.

整同态不增大 Krull 维数.

命题 2.8. 是域, 是整的 -代数, 且是整环. 则 也是域.

证明. 任取非零元 . 由整, 存在 系数首一多项式 使得 . 取其中次数最低者, 设为 . 则由于 是整环, 易知 不可约. 特别地, . 于是由 可逆. 所以 是域.

命题 2.9. 为整同态. 则 . 如 都是整环 为单射, 则 .

证明. 欲证 , 只需对 的素理想 , 证明其在 的原像 满足 . 假设不然, . 把 换成 , 换成对应基变换, 可设 是域. 再商去 , 可设 , 是整环. 由命题 2.8, 也是域, 这与 矛盾.

都是整环且 为单射, 设 . 对 中的最长素理想链以及 的素理想 次命题 2.6, 即知 . 结合上一段知 .

3相关概念

有限同态

Nakayama 引理

整态射

泛闭态射

代数扩张

正规环

术语翻译

整同态英文 integral homomorphism德文 ganzer Homomorphismus (m)法文 homomorphisme entier (m)拉丁文 integer homomorphismus (m)古希腊文 ἀκέραιος ὁμομορφισμός (m)