结合素理想

约定. 在本文中,

结合素理想交换代数中的重要概念, 是准素分解理论的现代版本. 代数地看, 它是可以作为模中元素零化子的素理想; 几何地看, 它是拟凝聚层截面支集的不可约分支.

1定义

定义 1.1. 是环, -模. 称素理想 结合素理想, 指的是存在 使得 . 的所有结合素理想的集合记作 , 无歧义时也可省去下标 . 中的极小元称为 极小素理想, 其余的称为嵌入素理想. 常将环 作为自身的模的结合 (嵌入) 素理想简称为环 的结合 (嵌入) 素理想.

注 1.2. 虽然此定义相当一般, 但它只对 Noether 环表现良好. 一般环上要用弱结合素理想.

2性质

注意由定义不能看出它存在; 我们首先对非零模证明存在性. 显然零模没有结合素理想.

命题 2.1.Noether 环, 是非零 -模, 则 . 此外, 中非零元的零化子都包含于某个结合素理想; 换言之, 零因子集是其所有结合素理想的并.

证明. 考虑理想集合由 Noether, 它有极大元, 设为 , 我们来证 为素理想. 取 , 则 , 且 , 故由极大知 . 于是 , 故 , . 所以 素. 对一个固定元素的零化子, 考虑上述集合里面包含它的理想中极大者, 即得后一句话.

例 2.2. 是环, 是其素理想, 则 .

其次是关于模的性质.

命题 2.3. 设有 -模短正合列. 第二个包含在正合列分裂时为等号.

证明. 第一个包含为显然, 我们来证第二个. 设 , 记 中的像为 , 则 . 如这是等号则 . 如这是真包含, 取 , 则 , 即 且非零. 由 是素理想易知 , 即 . 所以 . 正合列分裂时, 都是 的子模, 故也有 , 所以两边相等.

例 2.4. 以上第二个包含常常为严格. 观察

用结合素理想可将有限生成模拆成较简单的模.

命题 2.5. 是 Noether 环, 是有限生成 -模. 则存在滤链以及一列素理想 , 使得 .

证明. 考虑子模集合它非空, 因为 在其中. 由于 是 Noether 模, 以上集合有极大元, 设为 , 要证 . 如果 , 取 的结合素理想 以及元素 使得 , 则 . 取 一个原像 , 令 , 则 , , 于是将 的滤链最后放上 , 得命题对 成立, 与 极大矛盾! 故 , 命题对 成立.

由此可得重要的有限性.

推论 2.6. 是 Noether 环, 是有限生成 -模. 则 有限.

证明. 由以上两命题立得结论.

命题 2.7 (与局部化的关系). 是 Noether 环, -模, 乘性子集. 则自然映射是单射.

证明. 用局部化的定义及其理想对应, 第一个等号以及 都是显然的, 甚至无需 Noether. 现取 , 设其为 , , . 由 Noether 知 有限生成, 设其为 . 则由 知存在 使得 . 由此不难发现 , 于是 .

如非零元 在上面的自然映射的核中, 取 的结合素理想 ; 以 中其他元素替换 可不妨设 . 由命题 2.3, 的结合素理想; 于是 在局部化 的核中, 说明存在 使得 , 与 矛盾! 命题得证.

回忆 -模 支集指的是满足 的素理想 的集合, 记作 , 无歧义时常省略下标 .

定理 2.8 (与支集的关系). . 如 Noether, 则 中极小者都在 中. 特别地, 如 有限生成, 则有 , .

证明., 则由上一个命题 , 故 , 所以 . 如 极小, 则 , 故 , 由上一个命题 . 如 有限生成则 , 在 的谱中是闭集, 由此不难得到最后一句话.

命题 2.9. 是 Noether 环, -模同态. 如果对每个 , 处局部化都是单射, 那么 就是单射.

证明., 则它是 的子模, 故它的结合素理想都是 的结合素理想. 由条件, 对每个这样的素理想 都有 ; 这样由命题 2.7 最后一句话便知 , 是单射.

3例子

整环的结合素理想只有 .

固定域 , 考虑 . 则 , 其中 为极小素理想, 为嵌入素理想.

4应用

常将结合素理想有限性与素理想回避一起使用, 来得到模的非零因子. 结合素理想在 Cohen–Macaulay 环正则环的理论中也是常用工具.

5相关概念

结合点

素理想回避

弱结合素理想

Cohen–Macaulay 环

术语翻译

结合素理想英文 associated prime ideal德文 assoziiertes Primideal法文 idéal premier associé

嵌入素理想英文 embedded prime德文 eingebettetes Primideal法文 idéal premier plongé