主理想整环

主理想整环 (一些文献中简称 PID) 是理想都是主理想的整环.

Euclid 整环一定是主理想整环 (命题 2.1), 所以整数环和一元多项式环都是主理想整环.

主理想整环一定是唯一分解整环 (命题 2.2).

主理想整环可以视为一条光滑曲线的函数环 (命题 2.4), 此时这条曲线的 Picard 群是 $0$.

1定义

定义 1.1. 设 $R$ 为整环, 若 $R$ 的理想都是主理想, $R$ 就叫做主理想整环.

2性质

命题 2.1. Euclid 整环是主理想整环.

命题 2.2. 主理想整环是唯一分解整环.

命题 2.3. 主理想整环是 Noether 环.

命题 2.4. 主理想整环是 Dedekind 环, 即维数为 $1$ 的正则环.

3例子

•	整数环
•	一元多项式环
•	Euclid 整环

4主理想整环上的模

命题 4.1. 主理想整环上的自由模的子模仍为自由模. 特别地, 主理想整环上, 投射模与自由模二者等价.

命题 4.2. 主理想整环上, 平坦模与无挠模二者等价.

证明. 记此环为 $R$, 由 $R$-模 $M$ 平坦等价于对 $R$ 的任意理想 $I$, 映射 $I\otimes M\to R\otimes M$ 为单射. 由于 $I$ 形如 $(a)$, 此映射即为 $\cdot a:M\to M$. 此即为无挠条件.

$\square$

命题 4.3. 主理想整环上, 内射模与可除模二者等价. 特别地, 内射模的商模仍是内射模.

证明. 记此环为 $R$, 由 Baer 判别法, 对模 $M$, $M$ 内射等价于对 $R$ 的任意理想 $I$, 映射 $\mathrm{Hom}(R,M)\to \mathrm{Hom}(I,M)$ 是满射. 由于 $I=(a)$, 上述映射即为 $\cdot a:M\to M$. 此即为可除条件.

$\square$

命题 4.4. 主理想整环上 $\mathrm{Ext}$ 和 $\mathrm{Tor}$ 函子的同调维数是 $1$.

证明. 对任意模 $M$, 由命题 4.1, 存在自由消解$$0\to F^{-1}\to F^0\to M\to 0.$$由 $\mathrm{Ext}$ 和 $\mathrm{Tor}$ 的定义即知结论.

$\square$

命题 4.5.

参见: 主理想整环上有限生成模的结构定理

•	循环分解: 主理想整环 $R$ 上的有限生成模必同构于如下形式: $$R^{\oplus n}\oplus \underset{i=1}{\overset{m}{⨁}}R/(a_i),$$其中 $a_i$ 整除 $a_{i-1}$, 且 $a_i$ 均不可逆. 此分解唯一.
•	准素分解: 主理想整环 $R$ 上的有限生成模必同构于如下形式: $$R^{\oplus n}\oplus \underset{i=1}{\overset{m}{⨁}}R/(a_i^{k_i}),$$其中 $a_i$ 为 $R$ 中素元. 此分解中 $n$ 与集合 $\{a_i^{k_i}\}$ 唯一.

此时上述 $n$ 称为模 $M$ 的秩.

5相关概念

•	环论
•	交换代数

术语翻译

主理想整环 • 英文 principal ideal domain • 德文 Hauptidealring • 法文 anneau principal • 拉丁文 anellus principalis • 古希腊文 περιοχή κυρίων ἰδεώδων