Jacobson 根

Jacobson 根, 俗称大根, 指的是环的所有极大理想的交. 对一般环, 所有极大左理想的交和所有极大右理想的交是一样的. 它最重要的性质是 Nakayama 引理.

1定义

命题 1.1. 对一般环 $R$, 以下几个子集相同:

1.	$R$ 的所有极大左理想的交.
2.	$R$ 的所有极大右理想的交.
3.	所有单左 $R$-模的零化子的交.
4.	所有单右 $R$-模的零化子的交.
5.	$\{x\in R\mid \forall a\in R,1-ax有左逆\}$.
6.	$\{x\in R\mid \forall a\in R,1-xa有右逆\}$.
7.	$\{x\in R\mid 1+Rx\subseteq R^{\times }\}$.
8.	$\{x\in R\mid 1+xR\subseteq R^{\times }\}$.
9.	$\{x\in R\mid 1+RxR\subseteq R^{\times }\}$.

证明. 以 $J_k$ 表示第 $k$ 条定义的子集.

对极大左理想 $\mathfrak{m}$, $R/\mathfrak{m}$ 为单左 $R$-模, $\mathrm{Ann}(R/\mathfrak{m})\subseteq \mathrm{Ann}(\bar{1}\in R/\mathfrak{m})=\mathfrak{m}$, 故 $J_3\subseteq J_1$. 反过来对单左 $R$-模 $M$, $\mathrm{Ann}(M)={\bigcap }_{0\ne m\in M}\mathrm{Ann}(m)$, 而由于 $M$ 单, 每个 $\mathrm{Ann}(m)$ 都是极大左理想, 故 $J_1\subseteq J_3$. 于是 $J_1=J_3$. 同样地 $J_2=J_4$.

如 $x\notin J_1$, 取极大左理想 $\mathfrak{m}\not\ni x$, 则 $Rx+\mathfrak{m}=R$. 于是 $1+Rx$ 和 $\mathfrak{m}$ 有交, $x\notin J_5$. 反过来如 $x\in J_1$, 则对任一 $a\in R$, $ax$ 在每个极大理想中, 于是 $1-ax$ 就不在任一极大理想中, 故其有左逆, $x\in J_5$. 于是 $J_1=J_5$. 同样地 $J_2=J_6$.

如 $x\in J_5$, 任取 $a\in R$, $1-ax$ 都有左逆, 设为 $u$, 即 $u(1-ax)=1$. 展开、移项得 $u=1+uax$; 由于 $x\in J_5$, $u$ 也有左逆, 故 $u$ 有两边逆, 于是 $u\in R^{\times }$, 推出 $1-ax\in R^{\times }$. 即 $J_5\subseteq J_7$. 显然 $J_7\subseteq J_5$, 故 $J_5=J_7$. 同样 $J_6=J_8$.

注意如 $1-ax\in R^{\times }$, 不难验证 $1+x(1-ax{)}^{-1}a$ 给出 $1-xa$ 的逆, 所以 $J_7=J_8$. 这样便有 $J_1=J_2=J_3=J_4=J_5=J_6=J_7=J_8$, 且为双边理想, 记为 $J$. 显然 $J_9\subseteq J$, 尚需证 $J\subseteq J_9$.

最后, 如 $x\in J$, 那么 $RxR\subseteq J$, 即 $RxR$ 包含于每个极大左理想、每个极大右理想. 这样一来, $1+RxR$ 中元素就不在任一极大左理想、极大右理想中, 于是 $x\in J_9$. 即 $J\subseteq J_9$. 命题得证.

$\square$

定义 1.2 (Jacobson 根). 命题 1.1 中的子集称为 $R$ 的 Jacobson 根. 由定义它是 $R$ 的双边理想.

注 1.3. 需要注意的是, Jacobson 根可能不是所有极大双边理想的交, 因为极大左理想未必都包含一个极大双边理想. 请看下面的例子.

2例子

•	局部环的 Jacobson 根是其极大理想.
•	由 Hilbert 零点定理, 域上有限生成的环, 其 Jacobson 根等于幂零根.
•	单环的 Jacobson 根是 $0$.
•	半单环的 Jacobson 根是 $0$.
•	域上 $n\times n$ 的上三角矩阵构成环. 其 Jacobson 根等于幂零根, 由严格上三角矩阵组成.
•	对交换环 $A$, 一元多项式环 $A[x]$ 的 Jacobson 根等于幂零根, 为所有系数都幂零者组成的理想.

例 2.1. 本例展示 Jacobson 根可以真包含于所有极大双边理想的交. 取域 $k$ 以及 $k$ 上可数维线性空间 $V$, 取 $R={\mathrm{End}}_k(V)$. $V$ 有自然的左 $R$-模结构, 且显然是单模. 由 $R$ 的定义, ${\mathrm{Ann}}_R(V)=0$, 故 $R$ 的 Jacobson 根为 $0$. 下证其极大双边理想唯一且不为 $0$.

令 $I=\{r\in R\mid {\dim }_k(\mathrm{im}(r))<\infty \}$, 即像集有限维的那些线性映射组成的双边理想, 现在来证明它就是唯一的极大双边理想. 为此需要说明对任一 $x\notin I$, 都有 $RxR=R$. 依 $I$ 的定义, $\mathrm{im}(x)$ 不为有限维, 为可数维, 故可取同构 $\mathrm{im}(x)\cong V$. 由于线性空间的包含都是直和项, 可将其延拓为映射 $a:V\to V$. 现用同构定理将以上同构视为 $V\cong V/\ker (x)$. 类似地, 可将其提升为映射 $b:V\to V$. 由构造, $axb=1$, 故 $RxR=R$.

于是 $R$ 只有一个极大双边理想即 $I$, 其所有极大双边理想的交为 $I$, 真包含 Jacobson 根 $0$.

3性质

命题 3.1. $R$ 是环, $J$ 是其 Jacobson 根. 对双边理想 $I\subseteq J$, $J/I$ 是 $R/I$ 的 Jacobson 根. 对一般的双边理想 $I$, $(J+I)/I$ 包含于 $R/I$ 的 Jacobson 根.

证明. 这都是第三同构定理的显然推论.

$\square$

命题 3.2. Jacobson 根包含幂零根. 如果环为左 Artin 或右 Artin, 则二者相等.

证明. 由于 $(1-x{)}^{-1}=1+x+x^2+\cdots$, 立得幂零根包含于 Jacobson 根. 后一句话见 Artin 环条目中左 Artin 环左 Noether 的证明.

$\square$

以下 Nakayama 引理说明, Jacobson 根在生成一个模时是多余的.

定理 3.3 (Nakayama 引理). $R$ 是环, $J$ 是其 Jacobson 根, $M$ 是有限生成左 $R$-模, $N\subseteq M$. 如果 $M=N+JM$, 那么 $M=N$.

证明. $M=N+JM$ 即 $M/N=J(M/N)$. 由主条目 Nakayama 引理中的版本, 有 $M/N=0$, 即 $M=N$.

$\square$

4相关概念

•	幂零根
•	Nakayama 引理
•	Jacobson 环
•	Hilbert 零点定理

术语翻译

Jacobson 根 • 英文 Jacobson radical • 德文 Jacobson-Radikal (n) • 法文 radical de Jacobson (m)