Hilbert 零点定理

Hilbert 零点定理是代数几何中的一个基本定理, 建立了代数闭域上的代数集与多项式环中的理想 (等价地说, 多项式环的商环) 的对应关系.

Hilbert 零点定理是从古典代数几何走向现代代数几何的重要一步. 它表明了我们可以使用交换代数的手段研究代数方程的解, 代数方程的解集的性质只是某一类特殊的交换环的性质. 从此代数几何的研究逐渐走向一般的交换环与概形的研究.

如果从现代代数几何的观点来看, Hilbert 零点定理就是在阐明仿射概形的闭子概形的性质: 仿射概形 $\mathrm{Spec}(A)$ 的闭子概形就是它的某个商环的谱 $\mathrm{Spec}(A/I)$, 而底集相同的闭子概形中, 既约闭子概形相应的理想 $I$ 最大, 此时它是根理想.

1定理与证明

定理 1.1 (Hilbert 零点定理). 设 $k$ 是代数闭域, 以下三组数学对象有对应关系: $$\{k[x_1,x_2,\cdots ,x_n]中理想\}\{k[x_1,x_2,\cdots ,x_n]的商环\}\{k^n中代数集\},\sim V极大谱I$$这里

•	$V(J)$ 表示 $J$ 中元素的公共零点集.

•	$I(V)$ 表示在 $V$ 中任意点均取 $0$ 的多项式之集.

•	“极大谱” 表示环所有极大理想构成的集合,

它可以视为 $k^n$ 的子集 (由 Zariski 引理, $k[x_1,\cdots ,x_n]$ 的极大谱是 $k^n$).

这些映射满足:

•	对任意理想 $J$, $I(V(J))=\sqrt{J}$.

•	$V\circ I$ 为恒等映射.

•	去掉映射 $I$ 后此图交换.

证明. 对于第一个命题, 由定义 $I(V(J))\supset \sqrt{J}$, 只需证明如果 $\forall r>0,f^r\notin J$, 那么存在 $\mathbf{x}\in V(J)$ 使得 $f(\mathbf{x})\ne 0$.

设 $A=k[x_1,\cdots ,x_n]/J$, 由于 $f$ 在 $A$ 中非幂零, 局部化 $A_f$ 非零. 取 $\mathfrak{m}$ 为 $A_f$ 中的一个极大理想. 由 Zariski 引理, $A_f/\mathfrak{m}$ 是 $k$ 的有限扩张, 故一定为 $k$. 取 $t_i$ 为 $x_i\in A_f$ 在 $A_f/\mathfrak{m}=k$ 中的像, 则由于 $f$ 在 $A_f$ 中可逆, $$f(t_1,\cdots ,t_n)=\left(f(x_1,\cdots ,x_n)\mathrm{mod}\mathfrak{m}\right)\ne 0.$$此 $(t_1,\cdots ,t_n)$ 即为所求.

对于第二个命题, 由定义代数集就是多项式方程组的解集, 也就是这些多项式生成的理想在 $V$ 下的像, 因此只需证明 $V(I(V(J))=V(J)$. 由第一个命题左端为 $V(\sqrt{J})$, 注意的在 $k$ 中幂零的数为零, 结论成立.

由于 $(I\subset (x_1-t_1,\cdots ,x_n-t_n))⟺((t_1,\cdots ,t_n)\in V(I))$, 且多项式环的所有极大理想均形如 $(x_1-t_1,\cdots ,x_n-t_n)$ 可知第三个命题成立.

$\square$

2类比与推广

•	射影零点定理
•	解析零点定理

术语翻译

Hilbert 零点定理 • 英文 Hilbert’s Nullstellensatz • 德文 hilbertsche Nullstellensatz