概形

概形是现代代数几何的主要研究对象. 正如流形局部是 Euclid 空间这一基本对象, 而整个流形由一些 Euclid 空间拼接起来, 概形的局部则是仿射概形这一基本对象, 后者是经典意义下仿射代数簇 (即多项式方程组的解集) 的现代看法.

如下面 “想法” 一节所述, 仿射概形是环化空间, 底空间的每个开集对应的环表示此开集上函数环, 而函数环的素理想则对应相应开集中的点, 旨在同时记录函数环和它的素谱这两个相关对象的信息.

1想法

代数几何起源于研究多项式方程组的解, 方程组的解构成仿射空间的子集, 这即是经典意义下的仿射代数簇. 例如方程 $x^2+y^2=1$ 的实数解构成 ${\mathbb{R}}^2$ 中单位圆. 以上过程可以用交换代数的语言重述: 我们为一组方程赋予一个交换环, 视为其解集上 “函数” 构成的环, 它是多项式环的商环, 而方程组的解则对应它的一些极大理想, 表示在此点处取值为 $0$ 的所有函数. 例如上述方程 $x^2+y^2=1$ 对应于环 $\mathbb{R}[x,y]/(x^2+y^2-1)$, 方程的解 $(0,1)$ 则对应于理想 $(x,y-1)$. 这也正是 Hilbert 零点定理的想法.

不过这一经典的考虑却有以下问题: 除非在代数闭域上解方程, 否则方程的解很可能不够多, 而不足以反映方程的全部信息: 方程 $x^2+y^2+1=0$ 在实数上无解, 但它并不是个平凡的方程 (例如它在复数域上就会有解), 和真正无解的方程 $1=0$ 有本质区别. 用上述交换代数的观点则可以完美的解决此问题: 我们可以直接把交换环的极大理想视为方程的解例如上述方程对应的环 $\mathbb{R}[x,y]/(x^2+y^2+1)$ 有极大理想 $(y)$, 可以想象它对应了方程的复数解 $(\pm \mathrm{i},0)$ (用现代的语言, 这说明它的剩余域是 $\mathbb{C}$). 而方程 $1=0$ 则对应零环, 它没有极大理想. 在数论等领域中, 我们甚至需要考虑整数或有理数上的方程, 此时它的解就会更少, 也就更应该考虑方程对应的交换环以及极大理想.

把上述的想法抽象出来, 我们可以考虑一般的交换环和它的极大理想. 不过此时我们应该更进一步: 考虑全体素理想而不仅仅是极大理想, 即考虑交换环的素谱. 虽然从解方程的角度看不出来非极大的素理想的直观, 它却是理论很重要的工具, 即所谓 “一般点”. 这些点会很大, 每个一般点弥散于包含它的所有素理想之上 (即它的闭包会包含这些点). 一般点用来描述 “在一般位置” 成立的事实, 也就是说, 一般点满足的性质是它的闭包中绝大多数点都满足的性质. 对它的详细讨论参见条目一般点.

总结以上的想法, 即得到了仿射概形的定义. 交换环 $A$ 对应的仿射概形 $\mathrm{Spec}(A)$ 是个环化空间, 它由两部分组成: 底拓扑空间是交换环的素谱, 即之前所说的 “方程的解”, 底空间的每个开集对应一个交换环, 表示此开集的函数环. 为了描述更一般的空间 (例如射影空间) 我们需要把一些仿射概形粘接起来, 这就得到了一般概形的定义.

概形语言同样为形变理论给出好的描述, 例如, 非既约的概形被用来描述其约化后的概形的无穷小邻域. 例如非既约环 $k[x]/(x^2)$ 可以认为描述了 “加厚” 的点, 除了点本身外还描述了其一阶邻域的信息. 用这些环可以模拟一些微分几何中的操作, 例如 $k$-概形态射 $\mathrm{Spec}(k[x]/(x^2))\to X$ 对应于 $X$ 的切丛中的点.

2定义

定义 2.1. 交换环 $A$ 对应的仿射概形是环化空间 $(\mathrm{Spec}(A),{\mathcal{O}}_A)$. 其中 $\mathrm{Spec}(A)$ 是环 $A$ 的谱, 配备以 Zariski 拓扑, ${\mathcal{O}}_A$ 由以下条件$${\mathcal{O}}_A(D(f))=A_f$$存在而唯一地决定. 这里 $A_f$ 为 $A$ 对 $f$ 的局部化, $D(f)$ 为 $\mathrm{Spec}(A)$ 上 $f$ 对应的开集.

在不引起歧义时, 此局部赋环空间简记为 $\mathrm{Spec}(A)$.

定义 2.2. 概形是环化空间 $(X,{\mathcal{O}}_X)$. 满足下述条件:

存在 $X$ 的一组开覆盖 $\{U_i{\}}_{i\in I}$, 使此环化空间在 $U_i$ 上限制同构于某个交换环 $A_i$ 对应的的仿射概形.

在不引起歧义的情况下, 此局部环化空间简记为 $X$.

定义 2.3. 上述定义之中, $X$ 的拓扑结构称为 Zariski 拓扑.

定义 2.4. 可以证明概形都是局部环化空间, 两个概形 $X,Y$ 之间的态射 $f:Y\to X$ 就是局部环化空间的态射, 记为 $\mathrm{Mor}(X,Y)$. 此时称 $(Y,f)$ (在不引起歧义是简写为 $Y$) 是 $\mathbf{X}$-概形. 当 $X$ 为 $\mathrm{Spec}(A)$ 时, $X$-概形也称为 $\mathbf{A}$-概形.

定义 2.5. 所有概形以及它们之间态射构成的范畴称为概形范畴, 记作 $\mathsf{Sch}$. 此时 ${\mathsf{Sch}}_{/X}$ 即是所有 $X$-概形构成的范畴, 简记为 ${\mathsf{Sch}}_X$. 当 $X$ 为 $\mathrm{Spec}(A)$ 时, ${\mathsf{Sch}}_X$ 简记 ${\mathsf{Sch}}_A$.

3性质

这里只写所有概形共有的性质

命题 3.1. $\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})$ 是 $\mathsf{Sch}$ 的终对象. $\mathrm{Spec}(0)=\varnothing$ 是 $\mathsf{Sch}$ 的始对象.

注 3.2. 以上命题表明概形都有唯一的 $\mathbb{Z}$-概形结构, 因此代数几何的研究对象更偏重于概形间的态射, 而将概形本身视为特殊的概形间态射.

4例子

•	域 $k$ 对应的仿射概形是一个点.

•	对交换环 $A$, 多项式环 $A[x_1,\cdots ,x_n]$ 对应的仿射概形称为 $A$ 上仿射空间. 从经典的角度来看, 此环并未商去任何元素, 也就是对应空方程的解, 因此是仿射空间全体.

•	$A$ 上射影空间 ${\mathbb{P}}_A^n$ 在概形论中的描述是射影谱 $\mathrm{Proj}A[x_0,x_1,\cdots ,x_n]$, 它是一些开集 $\mathrm{Spec}A[\frac{x_0}{x_i},\cdots ,\frac{x_n}{x_i}]$ 之并, 这些概形描述了此射影空间中第 $i$ 个坐标不为 $0$ 的点.

5相关概念

•	代数簇
•	形式概形
•	刚性解析簇
•	Zariski 拓扑
•	凝聚层
•	相对概形
•	函子观点

术语翻译

概形 • 英文 scheme • 德文 Schema (n) • 法文 schéma (m) • 拉丁文 schema (n) • 古希腊文 σχῆμα (n)