丰沛线丛

在代数几何中, 丰沛线丛是一类代数线丛, 大致是指具有足够多的整体截面的线丛. 常常将这部分线丛视为 “正的” 线丛, 它们的对偶线丛视为 “负的” 线丛, 其余线丛则可视为正、负混合的.

例如, 考虑射影空间 ${\mathbb{P}}^n$ 上的线丛 $\mathcal{O}(d)=\mathcal{O}(1{)}^{\otimes d}$, 它在 $d>0$ 时为丰沛线丛, 因为其整体截面对应于 $d$ 次 $n+1$ 元多项式, 而 $d$ 越大, 这样的多项式就越多, 故线丛就 “越正”. 另一方面, 当 $d<0$ 时, $\mathcal{O}(d)$ 不是丰沛线丛, 它甚至没有非零的整体截面.

在代数几何–解析几何对应下, 由 Kodaira 嵌入定理, 丰沛线丛对应于正线丛, 即曲率形式是正形式的全纯线丛. 有时在术语上也并不区分此二者.

1定义

对射影簇

定义 1.1 (丰沛线丛). 设 $X$ 是域 $k$ 上的射影簇, $L\to X$ 是代数线丛.

•	称 $L$ 是极丰沛线丛, 若存在自然数 $n$ 和闭浸入$$i:X\hookrightarrow {\mathbb{P}}_k^n,$$使得 $L\simeq i^{\ast }(\mathcal{O}(1))$, 其中 $\mathcal{O}(1)\to {\mathbb{P}}_k^n$ 是射影空间 ${\mathbb{P}}_k^n$ 的结构给出的线丛.

•	称 $L$ 是丰沛线丛, 若存在自然数 $r$, 使得张量积 $L^{\otimes r}$ 是极丰沛线丛.

对一般概形

2相关概念

术语翻译

丰沛线丛 • 英文 ample line bundle • 法文 fibré en droites ample (m) • 日文 豊富な直線束

极丰沛线丛 • 英文 very ample line bundle • 法文 fibré en droites très ample (m) • 日文 非常に豊富な直線束