Hilbert 概形

概形 $X$ 的 Hilbert 概形是 $X$ 的闭子概形的模空间. 大致地说, 即 Hilbert 概形的每个点对应于 $X$ 的一个闭子概形.

1定义

设 $S$ 是概形, $X$ 是 $S$-概形. 例如, 常常取 $S=\mathrm{Spec}k$, 其中 $k$ 为域. 定义函子$$\begin{array}{rl}& {\mathrm{Hilb}}_{X/S}:({\mathsf{Sch}}_{/S}{)}^{\mathrm{op}}\to \mathsf{Set},\\ & {\mathrm{Hilb}}_{X/S}(T)=\{\text{闭子概形 Z⊂X×ST}\mid \text{Z→T 紧合平坦}\}.\end{array}$$我们将 ${\mathrm{Hilb}}_{X/S}(T)$ 视为所有由 $T$ 参数化的 $X$ 的子概形族的集合. 根据引言所述的想法, 我们希望这个集合等同于 $T$ 到 Hilbert 概形的所有态射的集合.

定义 1.1 (Hilbert 概形). 在上述情况下, 如果 ${\mathrm{Hilb}}_{X/S}$ 是可表函子, 也就是说, 存在 $S$-概形 ${\underline{\mathrm{Hilb}}}_{X/S}$, 使得对任何 $T\in {\mathsf{Sch}}_{/S}$, 都有自然的集合同构$${\mathrm{Hilb}}_{X/S}(T)\simeq {\mathsf{Sch}}_{/S}(T,{\underline{\mathrm{Hilb}}}_{X/S}),$$就称 ${\underline{\mathrm{Hilb}}}_{X/S}$ 为 $X$ 的 (相对于 $S$ 的) Hilbert 概形.

对拟射影概形而言, 其 Hilbert 概形一定存在:

命题 1.2. 在上述记号下, 若 $X$ 是 $S$ 上的拟射影概形, 则 Hilbert 概形 ${\underline{\mathrm{Hilb}}}_{X/S}$ 存在, 并且$${\underline{\mathrm{Hilb}}}_{X/S}=\coprod _P{\underline{\mathrm{Hilb}}}_{X/S}(P),$$其中 $P$ 取遍所有可能的 Hilbert 多项式, 而每个 ${\underline{\mathrm{Hilb}}}_{X/S}(P)$ 也是 $S$ 上的拟射影概形, 对应着 Hilbert 多项式为 $P$ 的那些子概形.

2例子

几个例子:

(a)	设 $C$ 是域 $k$ 上的曲线, 则$${\underline{\mathrm{Hilb}}}_{C/k}^m\cong S^{m}C:=\underset{m}{\underbrace{C\times \cdots \times C}}/{\mathfrak{S}}_m.$$若 $C$ 光滑, 则 ${\underline{\mathrm{Hilb}}}_{C/k}^m$ 也光滑. 证明见 [Fantechi–Göttsche–Illusie–L. Kleiman–Nitsure–Vistoli 2005] 的 Theorem 7.2.3(1) 和 Proposition 7.3.3.
(b)	设 $S$ 是域 $k$ 上的光滑曲面, 则 ${\underline{\mathrm{Hilb}}}_{S/k}^m$ 是 $2m$ 维的光滑概形, 故 ${\underline{\mathrm{Hilb}}}_{S/k}^m\to S^{m}X$ 是奇点解消. 注意到 $S^{m}X$ 光滑当且仅当 $X$ 光滑且 $\dim X=1$ 或 $m<2$. 证明见 [Fantechi–Göttsche–Illusie–L. Kleiman–Nitsure–Vistoli 2005] Theorem 7.2.3(2) 和 Theorem 7.3.4.
(c)	设 $X$ 是非奇异代数簇. 则当 $m\le 3$ 时 ${\underline{\mathrm{Hilb}}}_{X/k}^m$ 也非奇异. 但是对任何非奇异 $3$ 维代数簇, 概形 ${\underline{\mathrm{Hilb}}}_{X/k}^4$ 均奇异. 见 [Fantechi–Göttsche–Illusie–L. Kleiman–Nitsure–Vistoli 2005] 的 Remark 7.2.5 和 7.2.6.
(d)	设 $\mathcal{E}$ 是 $S$ 上秩 $m+1$ 的向量丛且假设 $P_d(n)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n}{m}\right)-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n-d}{m}\right)$, 则$${\underline{\mathrm{Hilb}}}_{\mathbb{P}(\mathcal{E})/S}^{P_d}\cong \mathbb{P}(({\mathrm{Sym}}^d\mathcal{E}{)}^{\vee }).$$

3性质

(a)	我们有 ${\underline{\mathrm{Hilb}}}_{X/S}^1=X/S$.
(b)	考虑 $Z\to S$, 我们有 ${\underline{\mathrm{Hilb}}}_{X{\times }_{S}Z/Z}\cong {\underline{\mathrm{Hilb}}}_{X/S}{\times }_{S}Z$.
(c)	[Hartshorne 连通定理]: 对任何连通诺特概形 $S$, 都有 ${\underline{\mathrm{Hilb}}}_{{\mathbb{P}}_S^n/S}^P$ 连通.
(d)	设 $X$ 是域 $k$ 上的连通簇, 则 ${\underline{\mathrm{Hilb}}}_{X/k}^n$ 也连通, 其中 $n>0$.
(e)	[Murphy 定律]:Hilbert 概形的奇点之怪难以想象, 准确点说, 对任意在 $\mathbb{Z}$ 上的有限型概形 $X$ 和点 $x\in X$, 都存在某个 Hilbert 概形和上面的一个点 $q\in {\underline{\mathrm{Hilb}}}_{{\mathbb{P}}^n/k}^P$ 使得有同构: $${\hat{\mathcal{O}}}_{X,p}[[x_1,...,x_s]]\cong {\hat{\mathcal{O}}}_{{\underline{\mathrm{Hilb}}}_{{\mathbb{P}}^n/k}^P,q}[[y_1,...,y_t]].$$见 [Vakil 2006].
(f)	论文 [Skjelnes–G. Smith 2020] 内作者给出了 ${\underline{\mathrm{Hilb}}}_{{\mathbb{P}}^n/k}^P$ 何时光滑的完全分类.

4参考文献

基本构造

•	Barbara Fantechi, Lothar Göttsche, Luc Illusie, Steven L. Kleiman, Nitin Nitsure, Angele Vistoli (2005). Fundamental algebraic geometry – Grothendieck’s FGA explained. American Mathematical Society.

更多参考

•	Ravi Vakil (2006). “Murphy’s law in algebraic geometry: badly-behaved deformation spaces”. Invent. Math. 164 (3), 569–590.

•	Roy Skjelnes, Gregory G. Smith (2020). “Smooth hilbert schemes: their classification and geometry”. arXiv:2008.08938..

5相关概念

•	Hilbert 多项式

术语翻译

Hilbert 概形 • 英文 Hilbert scheme • 德文 Hilbert-Schema (n) • 法文 schéma de Hilbert (m)