Hilbert 概形

概形 $X$ 的 Hilbert 概形是 $X$ 的闭子概形的模空间. 大致地说, 即 Hilbert 概形的每个点对应于 $X$ 的一个闭子概形.

1定义

设 $S$ 是概形, $X$ 是 $S$-概形. 例如, 常常取 $S=\mathrm{Spec}k$, 其中 $k$ 为域. 定义函子$$\begin{array}{rl}& {\mathrm{Hilb}}_{X/S}:({\mathsf{Sch}}_{/S}{)}^{\mathrm{op}}\to \mathsf{Set},\\ & {\mathrm{Hilb}}_{X/S}(T)=\{\text{闭子概形 Z⊂X×ST}\mid \text{Z→T 紧合平坦}\}.\end{array}$$我们将 ${\mathrm{Hilb}}_{X/S}(T)$ 视为所有由 $T$ 参数化的 $X$ 的子概形族的集合. 根据引言所述的想法, 我们希望这个集合等同于 $T$ 到 Hilbert 概形的所有态射的集合.

定义 1.1 (Hilbert 概形). 在上述情况下, 如果 ${\mathrm{Hilb}}_{X/S}$ 是可表函子, 也就是说, 存在 $S$-概形 ${\underline{\mathrm{Hilb}}}_{X/S}$, 使得对任何 $T\in {\mathsf{Sch}}_{/S}$, 都有自然的集合同构$${\mathrm{Hilb}}_{X/S}(T)\simeq {\mathsf{Sch}}_{/S}(T,{\underline{\mathrm{Hilb}}}_{X/S}),$$就称 ${\underline{\mathrm{Hilb}}}_{X/S}$ 为 $X$ 的 (相对于 $S$ 的) Hilbert 概形.

对拟射影概形而言, 其 Hilbert 概形一定存在:

命题 1.2. 在上述记号下, 若 $X$ 是 $S$ 上的拟射影概形, 则 Hilbert 概形 ${\underline{\mathrm{Hilb}}}_{X/S}$ 存在, 并且$${\underline{\mathrm{Hilb}}}_{X/S}=\coprod _P{\underline{\mathrm{Hilb}}}_{X/S}(P),$$其中 $P$ 取遍所有可能的 Hilbert 多项式, 而每个 ${\underline{\mathrm{Hilb}}}_{X/S}(P)$ 也是 $S$ 上的拟射影概形, 对应着 Hilbert 多项式为 $P$ 的那些子概形.

2例子

射影空间的 Hilbert 概形

(…)

Hilbert 点概形

(…)

3性质

(…)

4相关概念

•	Hilbert 多项式
•	Quot 概形

术语翻译

Hilbert 概形 • 英文 Hilbert scheme • 德文 Hilbert-Schema (n) • 法文 schéma de Hilbert (m)