Hilbert 多项式

约定. 在本文中,

• 所有环都指交换环.

Hilbert 多项式是交换代数和代数几何中的重要数值不变量, 反映分次环上分次模或射影概形上凝聚层的信息. 其在发展维数理论以及定义 Hilbert 概形、Quot 概形时都有作用.

1代数定义

定义 1.1 (Hilbert 多项式). 设 $S={⨁}_{n\in \mathbb{N}}{S}_n$ 为分次环, 满足 $S_0$ Artin, $S_1$ 为有限生成 $S_0$-模, 且其在 $S$ 中生成理想 $S_{+}={⨁}_{n\in {\mathbb{Z}}_{+}}{S}_n$. 设 $N={⨁}_{n\in \mathbb{N}}{N}_n$ 为有限生成分次 $S$-模. 则 $N$ 的 Hilbert 函数定义为 $\mathbb{N}$ 到自身的函数$${\phi }_N(n)={\ell }_{S_0}(N_n),$$其中 $\ell$ 表示长度. 由条件不难发现 $N_n$ 为有限长, 故它良定义. 下面将会看到, 当 $n$ 充分大时, ${\phi }_N$ 是关于 $n$ 的多项式, 称其为 Hilbert 多项式.

分次环作为自己的模的 Hilbert 多项式也称为该分次环的 Hilbert 多项式.

注 1.2. 由 Hilbert 基定理, $S$ 为 Noether 环.

定义 1.3 (Hilbert 级数). 记号同上. $N$ 的 Hilbert 级数定义为整系数形式幂级数$$P_N(t)=\sum _{n=0}^{\infty }{\phi }_N(n)t^n\in \mathbb{Z}[[t]].$$

注 1.4 (加性). 考虑分次模短正合列$$0\to N^{\prime }\to N\to N^{\prime \prime }\to 0$$则 ${\phi }_N={\phi }_{N^{\prime }}+{\phi }_{N^{\prime \prime }}$, $P_N=P_{N^{\prime }}+P_{N^{\prime \prime }}$. 这是因为长度具有加性.

注 1.5 (平移). 回忆对分次模 $N$ 以及整数 $c$, $N$ 的 $c$ 次平移指的是分次模 $N(c)$, 定义为 $N(c{)}_n=N_{n+c}$. 于是 ${\phi }_{N(c)}(n)={\phi }_N(n+c)$, $P_{N(c)}(t)$ 则为 $t^{-c}{P}_N(t)$ 舍去负次数项.

例子

•	设 $k$ 是域. 考虑其上 $d+1$ 元多项式环 $S=k[x_0,\dots ,x_d]$, 按照多项式的次数视为分次环. 则 ${\phi }_S(n)$ 就是齐 $n$ 次多项式空间的维数, 即 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+d}{d}\right)$, 是关于 $n$ 的 $d$ 次多项式. 其 Hilbert 级数为$$\sum _{n=0}^{\infty }\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+d}{d}\right)t^n=\frac{1}{(1-t{)}^{d+1}}.$$

性质

定理 1.6. 记号同定义 1.1, 1.3. 设 $S_1$ 作为 $S_0$-模由 $d$ 个元素生成. 则 $(1-t{)}^d{P}_N(t)\in \mathbb{Z}[t]$.

证明. 对 $d$ 归纳. $d=0$ 时 $S=S_0$. 由 $N$ 有限生成, 其只在有限个次数上非零, 故此时 $P_N(t)\in \mathbb{Z}[t]$. 现设命题对 $d$ 成立, 来证明 $d+1$ 的情形. 取生成元组 $s_0,\dots ,s_d\in S_1$.

注意 “乘以 $s_0$” 是 $N(-1)$ 到 $N$ 的分次模同态. 取其核、余核, 写出正合列$$0\to N^{\prime }\to N(-1)\to N\to N^{\prime \prime }\to 0$$依定义, $N^{\prime }$ 与 $N^{\prime \prime }$ 被 $s_0$ 零化. 这样它们都是分次环 $S^{\prime }=S/s_0$ 的分次模, 而 $S_1^{\prime }=S_1/S_0{s}_0$ 由 $d$ 个元素生成, 故由归纳假设 $(1-t{)}^d{P}_{N^{\prime }}(t),(1-t{)}^d{P}_{N^{\prime \prime }}(t)\in \mathbb{Z}[t]$. 而由注 1.4, 1.5, 以上正合列给出$$P_{N^{\prime }}(t)-t{P}_N(t)+P_N(t)-P_{N^{\prime \prime }}(t)=0;$$于是$$(1-t{)}^{d+1}{P}_N(t)=(1-t{)}^d(P_{N^{\prime \prime }}(t)-P_{N^{\prime }}(t))\in \mathbb{Z}[t].$$

$\square$

推论 1.7 (良定义). 记号同上. $n$ 充分大时, ${\phi }_N(n)$ 是关于 $n$ 的至多 $d-1$ 次多项式, 首项为正.

证明. 设 $(1-t{)}^d{P}_N(t)\in \mathbb{Z}[t]$ 的次数为 $c$, 则在 $n>c$ 时 ${\phi }_N(n)$ 的 $d$ 次差分为 $0$. 所以 $n>c$ 时 ${\phi }_N(n)$ 是至多 $d-1$ 次多项式. 首项为正是因为 ${\phi }_N(n)$ 总取非负数值.

$\square$

2几何定义

定义 2.1. 设 $S_0$ 为 Artin 环, $X\to \mathrm{Spec}{S}_0$ 为其上有限型概形, $\mathcal{L}$ 为 $X$ 上线丛, $\mathcal{F}$ 为 $X$ 上凝聚层, 满足 $\mathrm{Supp}\mathcal{F}\subseteq X$ 在 $\mathrm{Spec}{S}_0$ 上紧合. 考虑 $\mathbb{Z}$ 到自身的函数$$n\mapsto \chi (X,\mathcal{F}\otimes {\mathcal{L}}^n)=\sum _{i=0}^{\infty }(-1{)}^i{\ell }_{S_0}(H^i(X,\mathcal{F}\otimes {\mathcal{L}}^n)),$$其中 $\chi$ 表示 Euler 示性数, $\ell$ 表示长度. 由 Grothendieck 凝聚性, 上式右边各项是有限的, 且只有有限项非零, 故它良定义. 下面将会看到, 该函数是关于 $n$ 的多项式, 称其为 Hilbert 多项式.

如 $X$ 本身紧合, 也称 ${\mathcal{O}}_X$ 的 Hilbert 多项式为 $X$ 的 Hilbert 多项式.

例子

•

设 $S_0=k$ 是域, $X={\mathbf{P}}_k^d$ 为其上射影空间, $\mathcal{L}=\mathcal{O}(1)$. 对 $n\in \mathbb{Z}$, 有$$H^i({\mathbf{P}}_k^d,\mathcal{O}(n))=\{\begin{array}{ll}k[x_0,\dots ,x_d{]}_n,& i=0;\\ 0,& 1\le i\le d-1;\\ ((x_0\cdots x_d{)}^{-1}k[x_0^{-1},\dots ,x_d^{-1}]{)}_n,& i=d;\end{array}$$这里下标 $n$ 表示 $n$ 次部分, 其中各个变元 $x_j$ 均视为一次. 所以 ${\mathbf{P}}_k^d$ 的 Hilbert 多项式为 $d$ 次多项式 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+d}{d}\right)$.

性质

定理 2.2 (良定义). 记号同定义 2.1. $\mathbb{Z}$ 到自身的函数 $n\mapsto \chi (X,\mathcal{F}\otimes {\mathcal{L}}^n)$ 是个整值多项式.

命题 2.3 (与代数定义的关系). 记号同定义 1.1. 令 $X=\mathrm{Proj}S$, $\mathcal{L}={\mathcal{O}}_X(1)$, $\mathcal{F}$ 为 $N$ 定义的凝聚层, 即对齐次元 $s\in S_{+}$, $\mathcal{F}(D(s))=(N_s{)}_0$. 则对 $n$ 充分大, $$\chi (X,\mathcal{F}(n))={\phi }_N(n).$$即 $\mathcal{F}$ 关于 $\mathcal{L}$ 的 Hilbert 多项式等于 $N$ 的 Hilbert 多项式.

命题 2.4 (在平坦族下不变). 设 $X\to S$ 是有限型态射, $\mathcal{F}$ 是 $X$ 上凝聚层, 在 $S$ 上平坦, 且其支集在 $S$ 上紧合; $\mathcal{L}$ 为 $X$ 上线丛. 则对固定的 $n$, 函数$$s\mapsto \chi (X_s,{\mathcal{F}}_s\otimes {\mathcal{L}}_s^n)$$在 $S$ 上为局部常值, 这里下标 $s$ 表示在 $s$ 上的拉回. 因此 $\mathcal{F}$ 关于 $\mathcal{L}$ 的 Hilbert 多项式为局部常值.

3应用

4推广

对于基概形未必 Artin 的情形, 可不取长度而直接取 K 群代表元, 得到一个推广. 以下对 Noether 概形 $X$, 以 $K_0^{\prime }(X)$ 表示由 $\mathrm{Coh}(X)$ 中的元素生成, 对每个短正合列$$0\to \mathcal{F}\to \mathcal{G}\to \mathcal{H}\to 0$$有关系 $[\mathcal{F}]-[\mathcal{G}]+[\mathcal{H}]=0$, 所得的 Abel 群.

定理 4.1. 设 $f:X\to Y$ 是 Noether 概形的紧合态射. 则 $\mathrm{Coh}(X)$ 到 $K_0^{\prime }(Y)$ 的映射$$\mathcal{F}\mapsto \sum _{i=0}^{\infty }(-1{)}^i[R^i{f}_{\ast }\mathcal{F}]$$给出群同态 $f_{\ast }:K_0^{\prime }(X)\to K_0^{\prime }(Y)$. 如 $\mathcal{F}\in \mathrm{Coh}(X)$, ${\mathcal{L}}_1,\dots ,{\mathcal{L}}_r\in \mathrm{Pic}(X)$, 则 ${\mathbb{Z}}^r$ 到 $K_0^{\prime }(Y)$ 的映射$$(n_1,\dots ,n_r)\mapsto f_{\ast }[\mathcal{F}\otimes {\mathcal{L}}_1^{n_1}\otimes \cdots \otimes {\mathcal{L}}_r^{n_r}]$$是多项式映射.

5相关概念

•	整值多项式
•	Hilbert–Poincaré 级数
•	Hilbert 概形
•	Hilbert–Samuel 多项式
•	Castelnuovo–Mumford 正则性
•	K 群

术语翻译

Hilbert 多项式 • 英文 Hilbert polynomial • 德文 Hilbert-Polynom • 法文 polynôme de Hilbert

Hilbert 级数 • 英文 Hilbert series • 德文 Hilbert-Reihe • 法文 série de Hilbert