形式幂级数

形式幂级数, 简称幂级数或形式级数, 是多项式的扩展.

多项式为若干项之有限和, 每项为一个数 (称为系数) 和若干字母 (称为变元) 之积. 而幂级数则允许 (形式上的) 无限和. 例如, 无限求和$$1+x+x^2+\cdots$$是幂级数, 但不是多项式.

1定义

幂级数

定义 1.1 (幂级数). 设 $A$ 是环.

•	$A$ 上关于变元 $x$ 的幂级数是形如$$f(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots$$的无限求和表达式, 其中 $a_i\in A$ $(i\in \mathbb{N})$. 式中, 每个 $a_i{x}^i$ 称为幂级数 $f$ 的项, 其中 $a_i$ 称为该项的系数. 若两个幂级数只相差系数为 $0$ 的项, 即形如 $0x^i$ 的项, 则将这两个幂级数视为相同的.
•	$A$ 上关于 $n$ 个变元 $x_1,\dots ,x_n$ 的幂级数是形如$$f(x_1,\dots ,x_n)=\sum _{i_1,\dots ,i_n\ge 0}{a}_{i_1,\dots ,i_n}{x}_1^{i_1}\cdots x_n^{i_n}$$的表达式, 其中 $i_1,\dots ,i_n$ 取遍所有非负整数, $a_{i_1,\dots ,i_n}\in A$. 式中, 每个 $a_{i_1,\dots ,i_n}{x}_1^{i_1}\cdots x_n^{i_n}$ 称为幂级数 $f$ 的项, 其中 $a_{i_1,\dots ,i_n}$ 称为该项的系数. 若两个幂级数只相差系数为 $0$ 的项, 即形如 $0x_1^{i_1}\cdots x_n^{i_n}$ 的项, 则将这两个幂级数视为相同的.

固定系数环 $A$ 和变元 $x_1,\cdots ,x_n$ 后, 幂级数之间可以相加或相乘, 这样全体幂级数构成一个环, 称为幂级数环, 记为 $A[[x]]$.

定义 1.2 (加法、乘法). (...)

注 1.3. 由上述定义, 我们有环同构$$A[[x_1,x_2,\dots ,x_n]]\simeq A[[x_1]][[x_2]]\cdots [[x_n]].$$这说明幂级数的变元可以逐个引入.

幂级数函数

(…)

2性质

(…)

3相关概念

•	幂级数环
•	生成函数
•	Taylor 级数
•	Laurent 级数

术语翻译

形式幂级数 • 英文 formal power series • 德文 formale Potenzreihe • 法文 série formelle