交换代数 (代数结构)

本文介绍的是一种代数结构. 关于同名的学科, 请参见 “交换代数”. 关于它在范畴代数中的推广, 请参见 “交换代数 (范畴论)”.

交换代数是一种代数结构, 是指满足交换律的结合代数. 具体来说, 交换环 $R$ 上的交换代数是一个 $R$-模 (或域上的向量空间), 并且带有自身的乘法, 这种乘法满足结合律、交换律, 且是 $R$-双线性的. 研究交换代数的学科仍然称为交换代数.

交换代数可以等价地定义为交换环之间的环同态. 在上述记号下, 也就是从 $R$ 到该代数的同态. 因此, 在代数–几何对偶的观点下, 交换代数对应了相对观点下的几何对象. 例如, 在代数几何中, 交换代数对应了相对概形.

1定义

定义 1.1 (交换代数). 设 $R$ 是交换环. $R$ 上的交换代数是指二元组 $(A,\cdot )$, 其中

•	$A$ 是 $R$-模.

•	$\cdot$ 是 $A$ 上的二元运算, 称为乘法.

它们满足以下条件:

•	乘法是 $R$-双线性的: 对任意 $r\in R$ 和 $a,b\in A$, 有$$ra\cdot b=r(a\cdot b)=a\cdot rb.$$

•	$(A,+,\cdot )$ 是一个交换环, 其中 $+$ 是 $A$ 作为 $R$-模的加法.

在无歧义时, 这个二元组也被简记为 $A$.

等价地说, $R$ 上的交换代数是交换环 $A$, 并带有环同态 $f:R\to A$. 此时, $A$ 的 $R$-模结构由$$ra=f(r)\cdot a$$给出, 其中 $r\in R$, $a\in A$.

术语翻译

交换代数 • 英文 commutative algebra • 德文 kommutative Algebra (f) • 法文 algèbre commutative (f) • 日文 可換代数 (かかんだいすう) • 韩文 가환 대수 (可換代數)