半群作用

半群作用是一种代数结构, 是群作用对半群的类比. 半群 $S$ 于集合 $X$ 上的作用是一种乘法运算, 它允许 $S$ 的元素与 $X$ 的元素相乘而得到 $X$ 的元素. 这一结构也称为 $\mathbf{S}$-作用.

类似地, 也有幺半群作用的概念, 即幺半群在集合上的作用. 这一结构类似半群作用, 但要求幺半群的单位元以恒同映射作用于该集合.

半群、幺半群不仅可以作用于集合, 也可以作用于其它数学对象. 此时, 半群作用也就是半群到该数学对象的自同态半群的同态.

1定义

定义 1.1 (半群作用). 设 $(S,\cdot )$ 是半群, $X$ 是集合.

•	$S$ 在 $X$ 上的左作用是指映射 $a:S\times X\to X$, $(s,x)\mapsto sx$, 满足以下条件: ∘ (结合律) 对任意的 $s,s^{\prime }\in S$ 和 $x\in X$, 有 $(s{s}^{\prime })x=s(s^{\prime }x)$. 此时, 也将二元组 $(X,a)$ 称为左 $\mathbf{S}$-作用, 常简记为 $X$.

•	$S$ 在 $X$ 上的右作用是指映射 $a:X\times S\to X$, $(x,s)\mapsto xs$, 满足以下条件: ∘ (结合律) 对任意的 $s,s^{\prime }\in S$ 和 $x\in X$, 有 $x(s{s}^{\prime })=(xs)s^{\prime }$. 此时, 也将二元组 $(X,a)$ 称为右 $\mathbf{S}$-作用, 常简记为 $X$.

定义 1.2 (幺半群作用). 设 $(M,\cdot ,1)$ 是幺半群, $X$ 是集合.

•	$M$ 在 $X$ 上的左作用是指映射 $a:M\times X\to X$, $(m,x)\mapsto mx$, 满足以下条件: ∘ (单位律) 对任意 $x\in X$, 有 $1x=x$. ∘ (结合律) 对任意的 $m,m^{\prime }\in M$ 和 $x\in X$, 有 $(m{m}^{\prime })x=m(m^{\prime }x)$. 此时, 也将二元组 $(X,a)$ 称为左 $\mathbf{M}$-作用, 常简记为 $X$.

•	$M$ 在 $X$ 上的右作用是指映射 $a:X\times M\to X$, $(x,m)\mapsto xm$, 满足以下条件: ∘ (单位律) 对任意 $x\in X$, 有 $x1=x$. ∘ (结合律) 对任意的 $m,m^{\prime }\in M$ 和 $x\in X$, 有 $x(m{m}^{\prime })=(xm)m^{\prime }$. 此时, 也将二元组 $(X,a)$ 称为右 $\mathbf{M}$-作用, 常简记为 $X$.

定义 1.3 (半群作用同态). 设 $S$ 是半群, $X,Y$ 是左 $S$-作用. 则 $X$ 到 $Y$ 的半群作用同态是指映射 $f:X\to Y$, 使对任意 $s\in S$ 和 $x\in X$, 有$$sf(x)=f(sx).$$类似地, 也可定义右 $S$-作用间的半群作用同态.

幺半群作用同态就是指幺半群作用间的半群作用同态.

定义 1.4 (半群作用范畴). 设 $S$ 是半群. 则所有左 $S$-作用及其间的半群作用同态构成范畴 $S\text{-}\mathsf{Act}$. 类似地, 所有右 $S$-作用及其间的半群作用同态构成范畴 $\mathsf{Act}\text{-}S$.

2例子

•	半群 $S$ 的乘法给出了其自身上的左、右 $S$-作用.

•	考虑集合 $X$ 的自同态幺半群 $\mathrm{End}(X)=\mathsf{Set}(X,X)$. 则 $X$ 带有自然的左 $\mathrm{End}(X)$-作用.

•	对左 $S$-作用 $X$ 和任一元素 $x\in X$, 子集 $Sx=\{sx\mid s\in S\}$ 也带有左 $S$-作用, 即 $X$ 的子半群作用, 也称为由 $x$ 生成的循环 $\mathbf{S}$-作用.

•	正整数集 ${\mathbb{N}}_{+}$ 对乘法构成幺半群, 映射 $(x,m)\mapsto x^m$ 是幺半群 $({\mathbb{N}}_{+},\cdot )$ 于自身的右作用.

3相关概念

术语翻译

半群作用 • 英文 semigroup action

幺半群作用 • 英文 monoid action

$S$-作用 • 英文 $S$-act