子半群作用

子 $\mathbf{S}$-系类似子模或子群, 是在 $S$ 作用下稳定的 $S$-系的子集.

1定义

定义 1.1. 左 $S$-系 $A$ 的一个非空子集 $B$ 如果满足$$sb\in B,\forall s\in S,b\in B,$$那么称 $B$ 是 $A$ 的一个子系, 记作 $B⩽A$. 子系的 $S$ 的作用继承自 $A$.

同样地可以定义右 $S$-系的子系.

2性质

下述性质是不证自明的.

命题 2.1. $S$-系的任意个子系的交若非空, 则仍为子系.

3例子

•	对于 $S$-系 $A$ 和它的非空子集 $M$, 包含 $M$ 的所有子系的交仍是 $A$ 的子系, 称为由 $M$ 生成的子系, 可以记为$$⟨M⟩=\bigcap _{M\subseteq B⩽A}B.$$特别地, 当 $M$ 为单元素集时所生成的子系称为循环子系.

4相关概念

•	$S$-系
•	$S$-同余
•	商 $S$-系
•	序 $S$-系
•	序 $S$-同余
•	Rees 同余
•	Rees 商
•	循环 $S$-系