模

关于其它含义, 请参见 “模 (多义词)”.

模是一种代数结构. 给定环 $A$, 则 $A$ 上的模是一个 Abel 群, 其中的元素可以与 $A$ 的元素相乘, 而得到模中的元素. 环上的模可以看作域上的向量空间这一概念的推广, 模的元素可以视为向量, 而上述乘法则对应了向量空间的数乘.

在代数–几何对偶的观点下, 环上的模推广了空间上的向量丛. 具体而言, 空间对应的代数对象是其函数环, 而向量丛对应的代数对象是其所有截面构成的 Abel 群. 我们可以将空间上的函数乘以向量丛的截面, 而得到新的截面. 在代数几何中, 代数向量丛、拟凝聚层、凝聚层等概念都基于此想法而定义.

在表示论的观点中, 对模的研究会给出其下之环的性质, 此时模也被称为表示.

1定义

定义 1.1 (模). 设 $A$ 是环.

•

$A$ 上的左模是指二元组 $(M,\phi )$, 其中 ∘ $M$ 是 Abel 群. ∘ $\phi :A\times M\to M$ 是映射, 常记为 $\phi (a,m)=a\cdot m$ 或 $am$, 满足以下条件: ∘ (双线性) 对任意 $a,b\in A$ 及 $m,n\in M$, 有$$\begin{array}{rl}(a+b)m& =am+bm,\\ a(m+n)& =am+an.\end{array}$$ ∘ (单位律) 对任意 $m\in M$, 有$$1m=m.$$ ∘ (结合律) 对任意 $a,b\in A$ 和 $m\in M$, 有$$a(bm)=(ab)m.$$ 无歧义时, 常称 $M$ 为左模, 也称为 $\mathbf{A}$-左模.

•

$A$ 上的右模 $M$ 是二元组 $(M,\phi )$, 其中 ∘ $M$ 是 Abel 群. ∘ $\phi :M\times A\to M$ 是映射, 常记为 $\phi (m,a)=m\cdot a$ 或 $ma$, 满足以下条件: ∘ (双线性) 对任意 $a,b\in A$ 及 $m,n\in M$, 有$$\begin{array}{rl}m(a+b)& =ma+mb,\\ (m+n)a& =ma+na,\end{array}$$ ∘ (单位律) 对任意 $m\in M$, 有$$m1=m.$$ ∘ (结合律) 对任意 $a,b\in A$ 和 $m\in M$, 有$$(ma)b=m(ab).$$ 无歧义时, 常称 $M$ 为右模, 也称为 $\mathbf{A}$-右模.

•	若 $A$ 是交换环, 则 $A$ 上左模、右模的概念相同, 称为 $\mathbf{A}$-模.

对非交换环 $A$, 有时也常常将 $A$-左模或 $A$-右模简称为 $A$-模, 并在上下文中保持一种统一的选择.

定义 1.2 (模同态). 环 $A$ 上的左模 $M_1$, $M_2$ 间的模同态是指 Abel 群同态$$f:M_1⟶M_2,$$使对任意 $a\in A$ 和 $m\in M_1$, 都有$$f(am)=af(m).$$$M_1$ 到 $M_2$ 的全体同态构成 Abel 群, 记为 ${\mathrm{Hom}}_A(M_1,M_2)$.

类似地, 也可定义右模间的同态.

定义 1.3 (模范畴). 设 $A$ 是环. 则所有 $A$-左模以及它们之间的同态构成一范畴, 记为 $A\text{-}\mathsf{Mod}$; 所有 $A$-右模以及它们之间的同态构成一范畴, 记为 $\mathsf{Mod}\text{-}A$.

2性质

基本性质

•	Abel 群与 $\mathbb{Z}$-模是等价的概念.

•	环 $A$ 上的左模与 $A$ 的反环 $A^{\text{op}}$ 上的右模是等价的概念.

•	Abel 群 $M$ 上的 $A$-左模结构也就是 $A$ 到 $M$ 的自同态环 $\mathrm{End}(M)$ 的环同态; $M$ 上的 $A$-右模结构也就是 $A$ 的反环 $A^{\text{op}}$ 到 $\mathrm{End}(M)$ 的环同态.

3例子

•	对任意环 $A$, 平凡群 $0$ 带有自然的 $A$-左模、右模结构, 称为零模.

•	对任意环, 取环在自身上的作用为左乘与右乘, 则环本身带有其上的左模、右模结构.

•	环上的左、右理想上自然带有其上的左、右模结构. 上述两例均为此一情形的特例, 对应零理想和环本身.

4相关概念

术语翻译

模 • 英文 module • 德文 Modul (m) • 法文 module (m) • 拉丁文 modulus (m) • 古希腊文 πρότυπον (n) • 日文 加群 (かぐん) • 韩文 가군 (加群)