半单模

半单模是单模的直和 (定义 1.1). 也被称为完全可约模 (在表示论中被称为完全可约表示).

1定义

定义 1.1. 环 $A$ 上的 (左, 右, 双) 模是半单模, 如果它同构于若干单模 (可以为空或无限) 的直和.

等价定义 1.2. 下述均可以作为半单模的等价定义:

•	环 $A$ 上的 (左, 右, 双) 模是半单模, 如果它是若干单子模 (可以无限) 的和.
•	环 $A$ 上的 (左, 右, 双) 模 $M$ 是半单模, 如果对其任意子模 $M_1$, 存在另一个子模 $M_2$, 使得 $M=M_1\oplus M_2$.

注 1.3. 在范畴论的语言中, 上述定义转述为: 半单模是模范畴中的半单对象.

定义 1.4. 给定环上的所有半单 (左, 右, 双) 模构成的范畴称为 (左, 右, 双) 半单模范畴, 记为 $\mathsf{ssMod}$. 它是模范畴的满子范畴, 也是 Abel 子范畴.

2性质

命题 2.1. 上述若干定义 (定义 1.1 与定义 1.2) 等价.

证明. 我们证明左模的情形. 如果环 $A$ 上的模 $M$ 是一些单模的直和, 则它一定是这些单模的和. 另一方面, 如果 $M$ 是一些单模的和, 我们证明可以从这些单模中选出一些单模, 使 $M$ 等于它们的直和. 设 $M={\sum }_{\lambda \in \Lambda }{M}_{\lambda }$ 且不妨设 $\Lambda \ne \varnothing$. 取 $\Lambda$ 的子集 $J$, 使 ${\sum }_{\lambda \in J}{M}_{\lambda }$ 为直和, 且 $J$ 是极大的满足这种条件的子集. 根据 Zorn 引理, 这样的 $J$ 是存在且非空的. 我们证明每一个 $M_{\lambda },\lambda \in \Lambda$ 都包含于 ${\sum }_{\lambda \in J}{M}_{\lambda }$. 因为对于每一个 $\mu \in J$, $M_{\lambda }\cap M_{\mu }=M_{\lambda }\text{ 或 }\{0\}$, 故如果 $M_{\lambda }$ 不包含于任何一个 $M_{\mu },\mu \in J$, 则 $M_{\lambda }+{\sum }_{\mu \in J}{M}_{\mu }$ 是直和, 与极大性矛盾. 故 $M$ 是一些单模的直和.

如果 $M$ 是一些单模的直和, 设直和分解为 $M={\sum }_{\lambda \in \Lambda }{M}_{\lambda }$, 现在设 $M_1$ 是它的一个子模, 我们同上取使 $M_1+{\sum }_{\mu \in J}{M}_{\mu }$ 为直和的极大子集 $J\subset \Lambda$. 则同样可以证明 $M_1\oplus M_2=M$, 其中 $M_2={\sum }_{\mu \in J}{M}_{\mu }$. 反之, 设 $M$ 的任意子模 $M_1$ 在 $M$ 中都有补模, 我们证明 $M$ 的任何非零子模都包含一个单模. 设 $M^{\prime }\subset M$ 是 $M$ 的子模, $0\ne v\in M^{\prime }$, 则 $Av\subset M^{\prime }$ 也是 $M$ 的子模. 模同态 $A\to Av$ 的核, 即 $v$ 的零化子, 是 $A$ 的一个真理想 $I$, 它含于 $A$ 的一个极大理想 $\mathfrak{m}$ 中. 考虑 $\mathfrak{m}v$, 它在同构 $A/I\cong Av$ 下对应于 $\mathfrak{m}/I$, 是 $A/I$ 的极大真子模. 这时由条件 $M=\mathfrak{m}v\oplus M^{\prime }$, 从而 $Av=\mathfrak{m}v\oplus (Av\cap M^{\prime })$. 因为 $\mathfrak{m}v$ 的极大性, 故 $Av\cap M^{\prime }$ 是单模. 现在设 $M_0$ 是含于 $M$ 所有单模的和, 我们证明它等于 $M$. 否则, $M=M_0\oplus M_1$, $M_1$ 非零, 则 $M_1$ 含有一个单模, 这和 $M_2$ 是 $M$ 中所有单模的和矛盾. 故 $M$ 是含于它的所有单模的和.

$\square$

半单模定义中的直和分解是唯一的, 且可以显式表示出来.

命题 2.2. 定义 1.1 中的分解是唯一的, 即对两个分解 $M={⨁}_{i\in I}{M}_i={⨁}_{j\in J}{N}_j$, 存在双射 $\pi :I\to J$ 使 $M_i\simeq N_{\pi (j)}$.

证明. 由 Schur 引理, 只需证明: 当 $M_i\cong N_j\cong E$ 时, 有 $I,J$ 等势. 事实上, 由于单模是循环模, 每个 $M_i$ 含于某个 ${⨁}_{J_i}{N}_j$, 其中 $J_i\subset J$ 非空且有限. 我们有 $J={\bigcup }_I{J}_i$. 故 $I$ 有限推出 $J$ 有限, $I$ 无限推出 $|J|\le |I|$.

因此 $I,J$ 无限时有 $|I|=|J|$. 当 $I,J$ 有限时, ${\mathrm{Hom}}_A(M,E)$ 是左 ${\mathrm{End}}_A(E)$ 模. 而 ${\mathrm{Hom}}_A(M,E)={⨁}_I{\mathrm{Hom}}_A(M_i,E)={⨁}_J{\mathrm{Hom}}_A(N_j,E)$. 由除环 ${\mathrm{End}}_A(E)$ 上的模论知 $|I|=|J|$.

$\square$

命题 2.3. 设 $M$ 为半单模. 作为 $A$ 模, 我们有自然的直和分解$$M\cong ⨁{\mathrm{Hom}}_A(U_i,M){\otimes }_{{\mathrm{End}}_A(U_i)}{U}_i$$其中 $U_i$ 跑遍环 $A$ 上的单模. 我们称 ${\mathrm{Hom}}_A(U_i,M)$ 为 $U_i$ 在 $M$ 中的重数空间.

注 2.4. 上述分解中的直和项为右模与左模的张量积, 且 $a\in A$ 在其上的作用如下$$a\cdot (f\otimes u)=f\otimes (au).$$注意到 ${\mathrm{End}}_A(U_i)$ 是除环, ${\mathrm{Hom}}_A(U_i,A)$ 自由, 其维数确实是 $U_i$ 在 $M$ 中的重数.

证明. 由半单模的定义, 我们有$$M=⨁U_i^{\oplus I_i}.$$由 Schur 引理, $${\mathrm{Hom}}_A(U_i,M)\cong {\mathrm{Hom}}_A(U_i,U_i^{\oplus I_i})\cong \underset{I_i}{⨁}{\mathrm{Hom}}_A(U_i,U_i).$$其中第二个同构用到了 $U_i$ 是循环模的事实. 因此$$⨁{\mathrm{Hom}}_A(U_i,M){\otimes }_{{\mathrm{End}}_A(U_i)}{U}_i\cong ⨁U_i^{\oplus I_i}\cong M.$$容易知道上述同构是自然的.

$\square$

命题 2.5. 半单模的子模和商模均为半单模.

证明. 取定 $M$ 为半单模. 设 $N$ 为其子模. 对 $N$ 的任意子模 $N_1$, 存在 $M$ 的子模 $M_1$ 使得 $N_1\oplus M_1=M$. 故 $N_1\oplus (M_1\cap N)=N$. 由半单模的等价定义知 $N$ 半单.

设 $N$ 是 $M$ 的商模, 即存在满同态 $\pi :M\to N$. 对 $N$ 的任意子模 $N_1$, 存在 $M$ 的子模 $M_1$ 使得 ${\pi }^{-1}{N}_1\oplus M_1=M$. 则 $N_1\oplus \pi (M_1)=N$, 故 $N$ 半单.

$\square$

对一般的模, 可以构造其相应的半单模.

定义 2.6. 模 $M$ 的首为其 (唯一, 未必存在) 最大商半单模, 记为 $\mathrm{hd}(M)$.

定义 2.7. 模 $M$ 的座为其 (存在且唯一) 最大子半单模, 记为 $\mathrm{soc}(M)$.

命题 2.8. 上述二种半单化分别为从半单模范畴到模范畴的含入函子 $\mathrm{in}$ 的左伴随和右伴随. 即$$\mathrm{hd}⊣\mathrm{in}⊣\mathrm{soc},\mathsf{ssMod}\rightleftarrows \mathsf{Mod}$$

定义 2.9. 对有限长模 $M$, 设其合成列为$$0⊊M_1⊊\cdots ⊊M_k=M,$$则其半单化为$$M^{\mathrm{ss}}=\underset{i=1}{\overset{k}{⨁}}{M}_i/M_{i-1}.$$

3例子

•	域上矩阵环上的所有模均为半单模.
•	群代数 $K[G]$ 上的模均为半单模, 如 $K$ 是特征 $0$ 域, 且 $G$ 为有限群.

4相关概念

•	单模
•	半单环
•	首
•	座

术语翻译

半单模 • 英文 semisimple module • 德文 halbeinfacher Modul • 法文 module semi-simple • 拉丁文 modulus semisimplex • 古希腊文 ἡμιάπλουν πρότυπον