Schur 引理

Schur 引理指的是, 单模间的同态要么是同构, 要么是 $0$.

1陈述与证明

定理 1.1 (Schur). $R$ 是环, $M,N$ 是单左 $R$-模, $f:M\to N$ 是同态. 则 $f$ 要么是同构, 要么是 $0$.

证明. $\ker (f)$ 是 $M$ 的子模, $\mathrm{im}(f)$ 是 $N$ 的子模. 由于 $M,N$ 单, 它们要么是 $0$, 要么是全部. 只要 $\ker (f)=M$ 或 $\mathrm{im}(f)=0$, 就有 $f=0$. 如果 $\ker (f)=0$ 且 $\mathrm{im}(f)=N$, $f$ 就是同构.

$\square$

2推论

推论 2.1. 单模的自同态环是除环.

证明. 同构无非是可逆的同态, 所以 Schur 引理说明此自同态环的元素要么可逆要么是 $0$, 故它是除环.

$\square$

注 2.2. 一个模自同态环是除环, 它没道理是单模. 例如 ${\mathrm{End}}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Q})=\mathbb{Q}$, 但 $\mathbb{Q}$ 作为 $\mathbb{Z}$-模当然不单.

3相关概念

•

单模

术语翻译

Schur 引理 • 英文 Schur’s lemma • 德文 Lemma von Schur • 法文 lemme de Schur