半环

关于集合论中的半环, 请参见 “集合半环”.

半环是一种代数结构, 大致来说就是 “不能做减法的环”. 半环的典型例子是自然数的半环 $\mathbb{N}$, 其中除 $0$ 外的元素都没有加法逆元 (即相反数).

从某种意义上, 与环相比, 半环的结构更适合于范畴化. 例如, 向量空间范畴 $\mathsf{Vect}$ 可以看作某种 “范畴半环”: 它具备两种操作 $\oplus$、$\otimes$, 满足类似环的公理, 但 $\oplus$ 不可逆.

1定义

定义 1.1. 半环是三元组 $(A,+,\cdot )$, 其中 $A$ 是集合, $+,\cdot$ 是 $A$ 上的二元运算, 称为加法和乘法, 满足以下条件:

•	$(A,+)$ 构成交换幺半群, 其单位元记为 $0$.

•	$(A,\cdot )$ 构成幺半群, 其单位元记为 $1$.

•	乘法对加法满足分配律: 对任意 $a,b,c\in A$, 有$$\begin{array}{rl}(a+b)c& =ac+bc,\\ c(a+b)& =ca+cb.\end{array}$$

•	对任意 $a\in A$, 有$$0\cdot a=0=a\cdot 0.$$

如不引起歧义, 此三元组也可简记为 $A$.

2例子

•

所有环都是半环.

•	自然数集 $\mathbb{N}$ 关于自然数的加法、乘法构成半环.

•	交换环的所有理想的集合关于理想的加法、乘法构成半环.

3相关概念