主理想整环上有限生成模的结构定理

主理想整环上有限生成模的结构定理说明, 主理想整环上的有限生成模一定能写成一些循环模的直和. 特别地, 有限生成 Abel 群一定能写成一些循环群的直和.

1定理与证明

定理 1.1 (主理想整环上有限生成模的结构定理). 设 $R$ 是主理想整环, $M$ 是 $R$ 上的有限生成模.

•	(准素分解) $M$ 能写成$$M\simeq R^f\oplus \underset{i=1}{\overset{n}{⨁}}R/(q_i),$$其中 $f\ge 0$ 是整数, 每个 $q_i$ 都是某个素元的正整数次幂, 称为 $M$ 的初等因子. 它们在相差一个可逆元的意义下是唯一的.
•	(不变因子分解) $M$ 能写成$$M\simeq R^f\oplus \underset{i=1}{\overset{r}{⨁}}R/(d_i),$$其中 $f\ge 0$ 是整数, 对每个 $i$ 有 $d_i\mid d_{i+1}$. 这些 $d_i$ 称为 $M$ 的不变因子, 它们在相差一个可逆元的意义下是唯一的.

证明. 我们先说明不变因子分解的存在和唯一性.

因为主理想整环是 Noether 环, 所以 $M$ 是 Noether 模. 因此, $M$ 可以由一个 $R$ 上的矩阵来表示, 矩阵的每列对应 $M$ 的一个生成元, 每行对应这些生成元满足的一个关系. 对这个矩阵进行行、列变换不会改变这个矩阵所表示的模. 因此, 我们可以将这个矩阵化为 Smith 标准型: $$\left(\begin{array}{cccc}{d}_1& & & \\ & \ddots & & \\ & & d_r& \\ & & & 0_{(m-r)\times (n-r)}\end{array}\right),$$从而$$M\simeq \underset{i=1}{\overset{r}{⨁}}R/(d_i).$$这些 $d_i$ 中可能有可逆元, 这些项贡献了分解式中 $R^f$ 的部分. 这样, 就证明了分解式的存在性; 其唯一性也可以通过 Smith 标准型的唯一性得到.

再来说明准素因子分解的存在和唯一性. 这是因为, 由于孙子定理, 每个 $R/(d_i)$ 可以进一步分解为准素因子的直和; 反过来, 每个准素分解也可以给出一个不变因子分解 (... 说详细些?).

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2推论

Abel 群的分类

主条目: 有限生成 Abel 群分类定理

有限生成 $\mathbb{Z}$-模就是有限生成的 Abel 群. 因此, 有如下的分类定理.

定理 2.1 (有限生成 Abel 群分类定理). 设 $A$ 是有限生成 Abel 群.

•	(准素分解) $A$ 能唯一地写成$$A\simeq {\mathbb{Z}}^f\oplus \underset{i=1}{\overset{n}{⨁}}\mathbb{Z}/q_i\mathbb{Z},$$其中 $f\ge 0$ 是整数, 每个 $q_i$ 都是素数幂, 这里的唯一性不计次序.
•	(不变因子分解) $A$ 能唯一地写成$$A\simeq {\mathbb{Z}}^f\oplus \underset{i=1}{\overset{r}{⨁}}\mathbb{Z}/d_i\mathbb{Z},$$其中 $f\ge 0$ 是整数, $d_i>0$, 并且对每个 $i$ 有 $d_i\mid d_{i+1}$. 这些 $d_i$ 称为 $A$ 的不变因子. $\square$

线性算子的结构

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3相关概念

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术语翻译

主理想整环上有限生成模的结构定理 • 英文 structure theorem for finitely generated modules over a principal ideal domain