矩阵

矩阵是指排列成矩形表格的一系列元素.

矩阵是线性代数中的基础概念, 它是线性映射的一种便于计算的形式.

1定义

定义 1.1 (矩阵). 设 $X$ 是集合, $m,n$ 是自然数. 一个由 $X$ 中元素组成的 $m\times n$ 矩阵是指形如$$\left(\begin{array}{cccc}{x}_{1,1}& x_{1,2}& \cdots & x_{1,n}\\ x_{2,1}& x_{2,2}& \cdots & x_{2,n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ x_{m,1}& x_{m,2}& \cdots & x_{m,n}\end{array}\right)$$的表格, 其中每个 $x_{i,j}$ 都是 $X$ 的元素. 这个矩阵也通常记作$$(x_{i,j}),(x_{i,j}{)}_{m\times n},(x_{i,j}{)}_{\begin{array}{c}1\le i\le m\\ 1\le j\le n\end{array}}$$等等.

矩阵最重要的用处之一是用来表示线性映射.

例 1.2 (线性映射的矩阵表示). 设

•	$V,W$ 是域 $\mathbb{k}$ 上的有限维向量空间, 其维数分别为 $n,m$.

•	$f:V\to W$ 是线性映射.

•	$\{v_1,\dots ,v_n\}$ 是 $V$ 的一组基, $\{w_1,\dots ,w_m\}$ 是 $W$ 的一组基.

则每个 $f(v_j)\in W$ 可以写成基元素 $w_i$ 的线性组合: $$f(v_j)=\sum _{i=1}^m{a}_{i,j}{w}_i(a_{i,j}\in \mathbb{k}).$$则由 $\mathbb{k}$ 中元素构成的 $m\times n$ 矩阵$$A=(a_{i,j}{)}_{\begin{array}{c}1\le i\le m\\ 1\le j\le n\end{array}}$$称为线性映射 $f$ 关于这两组基的矩阵表示.

注意到, 这个矩阵的第 $j$ 列就是基向量 $v_j$ 被 $f$ 所映到的向量, 写成关于基 $\{w_1,\dots ,w_m\}$ 的坐标.

2运算

如果定义 1.1 中集合 $X$ 上定义了运算, 我们就可以定义 $X$ 上矩阵的运算. 下面我们假设 $X=R$ 是一个环.

•

矩阵加法: 对于 $m\times n$ 矩阵 $A=(a_{i,j}),B=(b_{i,j}),a_{i,j},b_{i,j}\in R$, 那么 $A+B=(a_{i,j}+b_{i,j})$, 即 $A+B$ 定义为逐元素相加的结果$$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}+b_{1,1}& a_{1,2}+b_{1,2}& \cdots & a_{1,n}+b_{1,n}\\ a_{2,1}+b_{2,1}& a_{2,2}+b_{2,2}& \cdots & a_{2,n}+b_{2,n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m,1}+b_{m,1}& a_{m,2}+b_{m,2}& \cdots & a_{m,n}+b_{m,n}\end{array}\right)$$$R$ 上的矩阵加法满足交换律: $A+B=B+A$. 这时全体 $n\times m$ 矩阵关于加法构成 Abel 群, 元素全为零的矩阵 $0$ 是零元.

•	数乘矩阵: 对于 $m\times n$ 矩阵 $A=(a_{i,j})$, $c\in R$, 那么 $cA=(c{a}_{i,j})$, 即将 $A$ 的每个元素均乘以 $c$. 这时全体 $n\times m$ 矩阵构成 $R$-模.

•

矩阵乘法: 对于 $m\times n$ 矩阵 $A=(a_{i,j})$, $n\times p$ 矩阵 $B=(b_{i,j})$ (注意 $A$ 的列数等于 $B$ 的行数), 我们定义其积 $AB$ 为一个 $m\times p$ 矩阵 $(c_{i,j})$, 其元素 $c_{i,j}$ 由下式给出: $$c_{i,j}=\sum _{k=1}^n{a}_{i,k}{b}_{k,j}$$矩阵的乘法满足结合律, 但是一般不满足交换律. 矩阵乘法对加法满足左、右分配律. 我们有时把 $AB$ 说成 $A$ 左乘 $B$ 或 $B$ 右乘 $A$ 的结果. 方阵间总是可以进行乘法. $R$ 上的所有 $n$ 阶方阵构成一个幺环, 通常是非交换的. 其乘法单位为单位阵, 即对角线全为 $1$, 其余元素为 $0$ 的 $n$ 阶方阵. 该环是一个 $R$-结合代数, 称为矩阵代数.

3相关概念

•	方阵
•	对角阵
•	相似矩阵
•	Smith 标准型
•	Jordan 标准型
•	线性群
•	线性 Lie 代数

术语翻译

矩阵 • 英文 matrix • 德文 Matrix (f) • 法文 matrice (f) • 拉丁文 matrix (f) • 古希腊文 πίναξ (m) • 日文 行列 (ぎょう れつ)