基

关于其它含义, 请参见 “基 (多义词)”.

在线性代数中, 向量空间的一组基是其中的一组向量, 例如 $\{e_1,\dots ,e_n\}$, 使得该向量空间的任意向量 $v$ 都能唯一地写成这些向量的线性组合:$$v=a_1{e}_1+\cdots +a_n{e}_n,$$其中 $a_i$ 是标量, 即底域的元素. 由于这种写法的唯一性, 我们也常常用这些数 $a_1,\dots ,a_n$ 来代表向量 $v$, 记为$$v=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right).$$由此, 通过一组基, 就能把向量空间的几乎所有操作化为数的运算.

每个向量空间都有基, 这称为基存在定理. 虽然这一事实依赖于选择公理, 但由于主流数学基于包含选择公理的 ZFC 集合论, 所以基存在定理在主流数学中成立.

向量空间通常有不止一组基. 另外, 一组基也可以由无限个向量组成. 但同一个向量空间的所有基都具有同样多的向量, 这一数目称为该向量空间的维数.

1定义

向量空间的基

定义 1.1 (基). 设 $k$ 是域, $V$ 是 $k$-向量空间, $(e_i{)}_{i\in I}$ 是 $V$ 中的一族元素. 称这族元素为 $V$ 的一组基, 如果满足以下条件:

•	向量组 $(e_i{)}_{i\in I}$ 线性无关.

•	若向该向量组其中加入任一个别的向量, 则新的向量组不再线性无关.

换言之, 基就是极大的线性无关向量组, 这里极大性是基于包含关系而言.

模的基

2性质

定理 2.1 (基存在定理). 设 $V$ 是 $\mathbb{k}$-向量空间. 则 $V$ 有一组基. 并且, $V$ 的所有基具有相同的势, 称为 $V$ 的维数.

证明. 记 $S$ 为 $V$ 的全体线性无关子集组成的集合: $$S=\left\{X\subseteq V\mid X\text{ 是线性无关的}\right\}.$$空集是 $S$ 的元素, 故 $S$ 非空. 在 $S$ 上定义偏序 $\le$: $\forall X,Y\in S,X\le Y$ 当且仅当 $X\subseteq Y$.

对 $(S,\le )$ 的任何升链, 不难验证对链中所有项取并, 就是该链的一个上界. 从而根据 Zorn 引理, $(S,\le )$ 存在极大元. 对任一极大元 $Z\in S$, 若 $Z$ 不能张成 $V$ 则存在 $x\in V\setminus \mathrm{span}(Z)$, 于是 $Z\cup \{x\}$ 也是线性无关的, 和 $Z$ 是极大元矛盾! 从而 $Z$ 能张成 $V$, 故是 $V$ 的一组基.

下面证明任何两组基 $Z,W$ 的势相同. 我们先证明一条引理:

引理 2.2 (Steinitz 换元性质). 对线性空间 $V$ 的任何两个基 $Z,W$, 若 $x\in Z\setminus W$ 则存在 $y\in W\setminus Z$ 使得 $(Z\setminus \{x\})\cup \{y\}$ 也是 $V$ 的基.

证明. 根据基的性质, 对任何 $w\in W$ 均存在 $Z$ 的有限子集 $S_w$ 使得 $w$ 能写成 $S_w$ 中元素的 $\mathbb{k}$-线性组合且系数均非零: $$w=\sum _{z\in S_w}{a}_{z}z:a_z\in \mathbb{k}\setminus \{0\}.$$注意到必有 $x\in {\cup }_{w\in W\setminus Z}{S}_w$, 否则会导致 $V=\mathrm{span}(W)\subseteq \mathrm{span}(Z\setminus \{x\})$ 从而 $Z\setminus \{x\}$ 也张成 $V$, 与 $Z$ 的线性无关性矛盾 (此时 $x$ 能写成 $Z\setminus \{x\}$ 的线性组合了) . 于是存在 $y\in W\setminus Z$ 使得 $x\in S_y$. 不难发现 $(Z\setminus \{x\})\cup \{y\}$ 线性无关且张成 $V$, 故是 $V$ 的基.

$\square$

回到原命题. (根据 Bernstein 定理) 可以不妨设 $|Z|\le |W|$, 那么:

•

若 $Z$ 有限且 $|Z|<|W|$, 那么可以利用上述 Steinitz 换元性质用 $W$ 的元素逐次替换 $Z$ 的元素, 知存在 $Z^{\prime }:Z^{\prime }⫋W$ 且 $Z^{\prime }$ 也是基. 这和 $W$ 是基矛盾. 所以 $Z$ 有限的时候有 $|Z|=|W|$.

•

若 $Z$ 无限, 那么 $W$ 自然也无限. 如引理的证明, 对任何 $z\in Z$ 均存在 $W$ 的有限子集 $S_z$ 使得 $z$ 能写成 $S_z$ 中元素的 $\mathbb{k}$-线性组合且系数均非零: $$z=\sum _{w\in S_z}{a}_{w}w:a_w\in \mathbb{k}\setminus \{0\}.$$且 ${\cup }_{z\in Z}{S}_z$ 必须等于 $W$ (否则若 $\exists y\in W\setminus {\cup }_{z\in Z}{S}_z$, 则不难验证 $W\setminus \{y\}$ 也能张成 $V$, 和 $W$ 是基矛盾) . 从而$$|W|=|{\cup }_{z\in Z}{S}_z|\le |Z|{\aleph }_0=|Z|.$$于是 (再次根据 Bernstein 定理) $|Z|=|W|$.

综上所述, $V$ 的所有基具有相同的势.

$\square$

3相关概念

•	对偶基
•	标准正交基
•	Schauder 基
•	Gröbner 基
•	Hilbert 基定理

术语翻译

基 • 英文 basis • 德文 Basis (f) • 法文 base (f) • 拉丁文 basis (f) • 古希腊文 βάσις (f)