线性映射

线性映射是向量空间之间的一种映射, 保持向量的加法、数乘. 它是线性代数主要研究的映射. 例如, 映射$$\begin{array}{rl}f:{\mathbb{R}}^2& ⟶{\mathbb{R}}^2,\\ (x,y)& ⟼(3x+y,x+2y)\end{array}$$就是一个线性映射, 它可以用下图描述:这里, 左边的蓝色网格是单位坐标网格, 它被映射 $f$ 变成右边的扭曲、放大的蓝色网格.

向量空间是域上的模, 线性映射就是模同态.

1定义

定义 1.1 (线性映射). 给定域 $\mathbb{k}$ 和两个 $\mathbb{k}$-向量空间 $V,W$, 如果映射 $f:V\to W$ 满足对任意 $a,b\in \mathbb{k}$ 和任意向量 $x,y\in V$, 都有$$f(ax+by)=af(x)+bf(y),$$就称 $f$ 是从 $V$ 到 $W$ 的线性映射.

通常也使用以下术语:

•	线性映射也称为线性算子、线性同态. 为避免歧义, 有时也称 $\mathbb{k}$-线性映射.

•	从 $V$ 到 $V$ 自身的线性映射也称为 $V$ 上的线性变换.

•	从 $V$ 到 $\mathbb{k}$ 的线性映射也称为 $V$ 上的线性函数或线性泛函.

•	如果一个线性映射是单射, 则称为线性嵌入, 或简称嵌入.

•	如果一个线性映射是双射, 则称为线性同构.

•	从 $V$ 到 $V$ 的线性同构也称为 $V$ 的线性自同构.

2性质

矩阵表示

有限维向量空间之间的线性映射可以用矩阵来表示.

设 $f:V\to W$ 是线性映射, 且 $V,W$ 是有限维向量空间. 取 $V$ 的一组基 $\{v_1,\dots ,v_n\}$ 和 $W$ 的一组基 $\{w_1,\dots ,w_m\}$. 那么, 由基的定义, 每个向量 $f(v_i)\in W$ 都可以唯一地写成向量 $w_j$ 的线性组合. 也就是说, 存在一系列常数 $a_{i,j}\in \mathbb{k}$, 使得$$\begin{array}{rl}& f(v_1)=a_{1,1}{w}_1+a_{2,1}{w}_2+\cdots +a_{m,1}{w}_m,\\ & f(v_2)=a_{1,2}{w}_1+a_{2,2}{w}_2+\cdots +a_{m,2}{w}_m,\\ & \dots \dots ,\\ & f(v_n)=a_{1,n}{w}_1+a_{2,n}{w}_2+\cdots +a_{m,n}{w}_m.\end{array}$$我们定义 $m\times n$ 矩阵$$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& \cdots & a_{1,n}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& \cdots & a_{2,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m,1}& a_{m,2}& \cdots & a_{m,n}\end{array}\right).$$我们称 $A$ 为线性变换 $f$ 关于 $V$ 的基 $\{v_i\}$、$W$ 的基 $\{w_j\}$ 的矩阵表示.

矩阵表示可以将线性映射化为矩阵乘法. 具体地说, 对任意向量 $v\in V$, 设 $v=x_1{v}_1+\cdots +x_n{v}_n$. 我们定义列向量 $\mathbf{x}=(x_1,\dots ,x_n{)}^{\top }$, 则线性映射的结果 $f(x)\in W$ 可以用矩阵乘法$$A\cdot \mathbf{x}$$表示. 也就是说, 如果我们将 $f(x)$ 写成基向量 $\{w_j\}$ 的线性组合:$$f(x)=y_1{w}_1+\cdots +y_m{w}_m,$$记 $\mathbf{y}=(y_1,\dots ,y_m{)}^{\top }$, 则一定有$$A\cdot \mathbf{x}=\mathbf{y}.$$

核与像

可以定义线性映射的核与像, 由此定义的概念 “零度” 和 “秩” 是线性映射的重要量度.

定义 2.1 (核空间). 对于 $\mathbb{k}$-线性映射 $f:V\to W$, 集合 $f^{-1}(0)=\{x\in V\mid f(x)=0\in W\}$ 构成一个向量空间, 称为 $f$ 的核, 通常记作 $\ker f$. 如果其维数有限, 则称其维数为 $f$ 的零度.

定义 2.2 (像空间). 对于 $\mathbb{k}$-线性映射 $f:V\to W$, 集合 $f(V)=\{f(x)\in W\mid x\in V\}$ 构成一个向量空间, 称为 $f$ 的像, 通常记作 $\mathrm{im}f$, 如果其维数有限, 则称其维数为 $f$ 的秩.

此二量满足以下关系, 称为秩–零度定理.

$$\dim \ker f+\dim \mathrm{im}f=\dim V.$$

3例子

(...)

4相关概念

•

模同态

术语翻译

线性映射 • 英文 linear map • 德文 lineare Abbildung (f) • 法文 application linéaire (f) • 拉丁文 adhibitio linearis (f) • 古希腊文 γραμμικὸς ἀπεικονισμός (m)

线性函数 • 英文 linear function • 德文 lineare Funktion (f) • 法文 fonction linéaire (f) • 拉丁文 functio linearis (f) • 古希腊文 γραμμικὸς ἀπεικονισμός (m)

秩 • 英文 rank • 德文 Rang (m) • 法文 rang (m) • 拉丁文 gradus (m) • 古希腊文 τάξις (f)

零度 • 英文 nullity • 法文 nullité (f) • 拉丁文 nullitas (f) • 古希腊文 μηδενία (f)