商向量空间

在线性代数中, 向量空间的商向量空间 (简称商空间) 是指该向量空间的商集, 该商集上也有良好定义的向量空间结构.

要构造向量空间 $V$ 的商空间, 需先选取一个子向量空间 $W\subset V$. 则商向量空间 $V/W$ 是由 $W$ 在 $V$ 中的所有平移构成的集合. 换言之, $V/W$ 就是从 $V$ 出发, 将 $W$ 的每个平移都分别捏成一个点, 而得到的集合. 特别地, $W$ 自身捏成的点就是 $V/W$ 的原点.

根据上述描述, 我们能得到自然的映射 $V\to V/W$, 称为投影. 它是线性映射.

此时, 我们有向量空间的短正合列$$0\to W⟶V⟶V/W\to 0.$$

1定义

定义 1.1 (商向量空间). 设 $k$ 是域, $V$ 是 $k$-向量空间, $W\subset V$ 是子向量空间.

则商向量空间 $V/W$ 定义如下:

•	对每个 $x\in V$, 定义$$[x]=x+W=\{x+w\mid w\in W\}$$为 $W$ 沿 $x$ 的平移.

•	定义$$V/W=\{[x]\mid x\in V\}.$$为 $W$ 的所有平移的集合.

•	定义 $V/W$ 中的加法如下: 对 $x,y\in V$, 定义$$[x]+[y]=[x+y].$$可以验证这是良好定义的: 若 $[x]=[x^{\prime }]$, $[y]=[y^{\prime }]$, 则 $[x+y]=[x^{\prime }+y^{\prime }]$.

•	定义 $V/W$ 中的数乘如下: 对 $c\in k$ 和 $x\in V$, 定义$$c[x]=[cx].$$可以验证这是良好定义的: 若 $[x]=[x^{\prime }]$, 则 $[cx]=[c{x}^{\prime }]$.

可以验证, 这样定义的 $V/W$ 确实是向量空间.

2例子

•	对向量空间 $V$, 有 $V/V\simeq 0$, $V/0\simeq V$, 这里 $0$ 表示零向量空间.

•	对向量空间 $V,W$, 有 $(V\oplus W)/V\simeq W$, 其中 $V$ 自然地视为 $V\oplus W$ 的子空间.

3性质

•	设 $W$ 是 $V$ 的子向量空间. 则投影映射 $V\to V/W$ 是线性映射, 且是满射. 有向量空间的短正合列$$0\to W⟶V⟶V/W\to 0.$$

4相关概念

术语翻译

商向量空间 • 英文 quotient vector space • 德文 Quotientenvektorraum (m) • 法文 espace vectoriel quotient (m)