商集

给定集合 $X$ 及其上等价关系 $\sim$, 商集 $X/\sim$ 就是将 $X$ 中所有等价的元素都看作相同的元素, 而得到的新集合. 换言之, 商集就是将原来的集合中某些元素捏到一起, 得到的更小的集合.

对任何满射 $p:X\to Y$, 都可以将 $Y$ 视为 $X$ 的商集.

1定义

定义 1.1 (商集). 设 $X$ 为集合, $\sim$ 为 $X$ 上等价关系. 对 $x\in X$, 记$$[x]=\{y\in X\mid x\sim y\}$$为 $x$ 所在的等价类.

则商集 $X/\sim$ 就是所有等价类的集合: $$X/\sim =\{[x]\mid x\in X\}.$$有自然的映射$$\begin{array}{rl}p:X& ⟶X/\sim ,\\ x& ⟼[x],\end{array}$$称为投影映射, 也称为商映射.

2例子

•	对集合 $X$, 若 $\sim$ 是 $X$ 上的平凡等价关系, 即任两个元素都等价, 则 $X/\sim$ 当 $X$ 非空时为单点集, 否则为空集.

术语翻译

商集 • 英文 quotient set • 德文 Quotientenmenge (f) • 法文 ensemble quotient (m)