等价关系

等价关系集合自反对称传递的二元关系.

等价关系是描述集合中元素 “相似性” 的一种方式. 例如, “相等” 是最强的相似性, 故而相等是等价关系. 整数同余也是某种相似性, 也是等价关系. 又例如, Euclid 平面直线平行关系也是等价关系.

等价关系常用符号 表示.

1定义

等价关系

定义 1.1 (等价关系). 我们称集合 上二元关系 等价关系, 如果其满足下列性质:

(自反性) 对任意 , 有 .

(对称性) 对任意 , 若 , 则 .

(传递性) 对任意 , 若 , 则 .

定义 1.2 (等价类). 给定集合 上等价关系 . 对任意 , 称 子集 下的等价类. 此时, 集合 是所有等价类的无交并.

定义 1.3 (商集). 给定集合 上等价关系 , 商集 是所有等价类的集合:

这样, 有自然的满射 , 将每个元素 映到其等价类 .

生成等价关系

集合 上的任意二元关系, 都能定义它生成的等价关系, 即包含它的最小等价关系.

定义 1.4.集合 上的二元关系. 则 生成等价关系 上的等价关系 , 定义如下:

, 则 当且仅当存在自然数 和元素 , 使得 , , 且对任意 , 都有 .

2例子

集合 上的 “相等” 关系是等价关系, 其等价类是所有单点子集.

对任意整数 , “模 同余” 是整数集 上的等价关系.

平行关系是 Euclid 平面直线间的等价关系.

一般地, 对集合间的映射 , “被 映到同一元素” 是 上的等价关系, 其等价类为 中单点子集的原像. 事实上, 所有等价关系都能如此描述.

3性质

4相关概念

自反关系

传递关系

对称关系

偏等关系

术语翻译

等价关系英文 equivalence relation德文 Äquivalenzrelation法文 relation d’équivalence拉丁文 relatio aequivalentiae古希腊文 σχέσις ἰσοδυναμίας

等价类英文 equivalence class德文 Äquivalenzklasse法文 classe d’équivalence拉丁文 classis aequivalentiae古希腊文 τάξις ἰσοδυναμίας