迹

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在线性代数中, $n\times n$ 方阵 $A=(a_{i,j})$ 的迹是指其对角线上所有元素之和, 即$$\mathrm{tr}A=a_{1,1}+\cdots +a_{n,n}.$$相似矩阵具有相同的迹, 因此, 将方阵视为有限维向量空间上的线性变换, 则迹也可以视为这样的线性变换的性质. 事实上, 线性变换的迹给出了其所有特征值之和.

1定义

方阵的迹

定义 1.1. 设 $k$ 是环, $n$ 是自然数, $A=(a_{i,j})$ 是 $k$ 上的 $n\times n$ 方阵. 则 $A$ 的迹定义为$$\mathrm{tr}A=a_{1,1}+\cdots +a_{n,n}.$$

线性变换的迹

定义 1.2. 设 $k$ 是域, $V$ 是 $k$-向量空间, $f:V\to V$ 是线性变换. 则 $f$ 的迹定义为 $f$ 的特征多项式 $\det (t\cdot 1_V-f)$ 中 $t^{n-1}$ 的系数的相反数, 其中 $n=\dim V$.

2性质

•	对交换环 $k$ 上同样大小的方阵 $A,B$, 有 $\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)$.

3相关概念

术语翻译

迹 • 英文 trace • 德文 Spur (f) • 法文 trace (f) • 日文 トレース • 韩文 대각합 (對角合)