正交群

约定. 在本文中,

• 所有环都指交换环.

环上的正交群是其上所有同阶正交矩阵 (即转置等于逆的方阵) 构成的群. 它是 Lie 群、代数群的重要例子, 也是群表示论关心的重要对象. 给定 ${\mathbb{R}}^n$ 上的标准度量后, 正交群是保持原点的等距同构群.

一般线性群通常由 $O(n,A)$, $O_n(A)$ 或 $O(V)$ 表示.

1定义

定义 1.1. 设 $2$ 在环 $A$ 中可逆. 定义正交群 $O(n,A)$ 为集合$$\{X\in M_n(A)\mid X^{t}X=1\}$$配备矩阵乘法得到的群.

注 1.2. 对非交换环无法定义正交群, 其原因在于其上没有二次型理论. 不过在环有个反对合时, 可以有半双线性型理论, 从而定义酉群的类似物. 例如可以基于四元数定义紧辛群.

2性质

基本性质

以下列举了一些一般线性群的群论性质. (...)

Lie 群结构

当 $A$ 是 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$ 时, 可以为 $O(n,A)$ 赋予 Lie 群结构. 这是 Lie 群的重要例子.

命题 2.1 (Lie 群结构). $O(n,\mathbb{R})$ 和 $O(n,\mathbb{C})$ 由 ${\mathbb{R}}^{n^2}$ 或 ${\mathbb{C}}^{n^2}$ 中方程的零点集定义. 这为 $O(n,\mathbb{R})$ 赋予了光滑流形结构, 并为 $O(n,\mathbb{C})$ 赋予了复流形结构. 此时, $O(n,\mathbb{R})$ 是实 Lie 群, $O(n,\mathbb{C})$ 是复 Lie 群. 此时, 二者均是半单 Lie 群.

作为 Lie 群, 正交群有对应的 Lie 代数.

命题 2.2 (Lie 代数). 正交群 $O(n,\mathbb{k})$ ($\mathbb{k}=\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$) 的 Lie 代数是向量空间$$\mathfrak{o}(n,\mathbb{k})=\{X\in M(n,\mathbb{k})\mid X+X^t=0\},$$配有 Lie 括号 $[X,Y]=XY-YX$.

此外, 它还有下述拓扑性质.

命题 2.3 (紧性). $O(n,\mathbb{R})$ 紧, 但 $O(n,\mathbb{C})$ 不紧, 后者的极大紧子群是前者.

命题 2.4 (连通性). $O(n,\mathbb{R})$ 和 $O(n,\mathbb{C})$ 均不连通: 两个连通分支分别由行列式为 $1$ 和为 $-1$ 的矩阵构成 (事实上, 前者是后者的强形变收缩). 它们原点所在的连通分支即是相应的特殊正交群.

命题 2.5 (基本群). $O(n,\mathbb{R})$ 和 $O(n,\mathbb{C})$ 的基本群, 在 $n=1$ 时是 $0$, $n=2$ 时是 $\mathbb{Z}$, $n\ge 3$ 时是 $\mathbb{Z}/2$.

3推广

可以将正交群推广到一般概形上, 成为群概形.

定义 3.1. 设 $S$ 是概形, $V$ 是其上向量丛, $L$ 是其上线丛, $q:V\to L$ 是集合值函子的自然变换, 满足 $q$ 在 $S$ 的仿射局部上是非退化二次型. 定义 $q$ 的正交群为 $S$ 上群概形$${\mathsf{Sch}}_S^{\text{op}}\to \mathsf{Grp},X\mapsto \{\phi \in {\mathrm{Aut}}_{{\mathcal{O}}_X}(V_X)\mid q\circ \phi =q\},$$记作 $O(q)$ 或 $O(q,S)$. 它是约化群概形.

例 3.2. 对偶数 $n$, 考虑 $S=\mathrm{Spec}\mathbb{Z}$, $V={\mathbb{Z}}^n$, $L=\mathbb{Z}$, $q(x_1,\dots ,x_n)=x_1{x}_2+\cdots +x_{n-1}{x}_n$. 此时 $O(q)$ 称为标准分裂正交群, 记作 $O_n$ 或 $O_{n,\mathbb{Z}}$. 注意这并不是定义 1.1 中 $O(n,A)$.

例 3.3. 对奇数 $n$, 考虑 $S=\mathrm{Spec}\mathbb{Z}$, $V={\mathbb{Z}}^n$, $L=\mathbb{Z}$, $q(x_1,\dots ,x_n)=x_1{x}_2+\cdots +x_{n-2}{x}_{n-1}+x_n^2$. 此时 $O(q)$ 称为标准分裂正交群, 记作 $O_n$ 或 $O_{n,\mathbb{Z}}$. 注意这并不是定义 1.1 中 $O(n,A)$.

4表示论

5例子

(...)

6相关概念

•	等距同构群
•	约化 Lie 群

术语翻译

正交群 • 英文 orthogonal group • 德文 orthogonale Gruppe • 法文 groupe orthogonale • 拉丁文 caterva orthogonalis • 古希腊文 ὀρθογωνία ὁμάς